电子测量仪器与应用(第2版)
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1.3 电子测量的误差和处理方法

【核心提示】 相对误差的物理意义是什么?仪表的准确度等级是如何确定的?如何确定仪表的量程?如何评价测量的结果?

在一定的条件下,被测量的真实大小或真实数值称为这个量的真值。在测量过程中,测量值与真值的差异称为测量误差。研究测量误差的目的就是要寻找误差产生的来源,尽可能防止误差和减小误差。同时还应对测量误差进行正确的估计和处理,使测量结果接近被测量对象的实际情况。

1.3.1 常用测量术语

在讨论测量误差问题的过程中经常要用到以下术语。

1)约定真值:约定真值为约定目的而取的可以代替真值的量值。一般来说,约定真值与真值的差值可以忽略不计。

2)实际值:实际值为满足规定精确度用其来代替真值的量值。实际值一般由实验获得,在一定程度上很接近真值。通常将上一级计量标准所确定的量值称为下一级计量器具的实际值。

3)示值:示值也称为测量值,示值测量仪器的读数装置所显示出的被测量的量值,一般用x表示。

4)读数:读数是指有仪器刻度盘或数字显示器上直接读到的数字,有时读数值并不一定代表测量值的大小。例如,指针式万用表测干电池1.5V直流电压,选用250分度,当指针指在150处时,读数是150,而测量值(示值)却为1.5V。

1.3.2 测量误差的表示方法

测量误差可以有多种表示方法,最基本的误差表示方法有绝对误差和相对误差。

1.绝对误差

(1)定义

被测量值(仪器上的示值)x与其真值A0的差,叫作绝对误差,用Δx表示。

Δx=x-A0

上式中,绝对误差Δx既有大小、量纲,又有正负。它的大小和正负分别表示测量值偏离真值的程度和方向。

上式中的A0无法求到,所以总是用更高一级的标准仪器的测量值(仪器示值)A代替真值,A称为约定真值。于是,通常使用的表达式为

Δx=x-A

【例1-2】 用电压表测电压,示值为16V,而用标准表测得的结果为15V,则绝对误差为多少?

解: Δx=x-A=(16-15)V=1V

(2)修正值

与Δx相等但符号刚好相反的值,称为修正值,一般用C表示。

C=-Δx=A-x

测量仪器在使用前都要由上一级标准给出受检仪器的修正值,它通常以表格、曲线或公式的形式给出。由修正值可以求出实际值

A=C+x

【例1-3】 某电压表的量程为20V,通过检定而得出其修正值为-1V。如用这只电压表测电压,示值为16V,被测电压实际值为多少?

解:A=C+x=[(-1)+16]V=15V

由上可见,利用修正值可以减小误差的影响,使测量值更接近真值。在实际应用中,应定期将仪器仪表送计量部门检定,以便得到正确的修正值。

2.相对误差

绝对误差虽能表示测量值偏离真值的程度和方向,但不能确切反映其准确程度。为了确切反映测量的准确程度,在实际使用时,又引入了相对误差的概念,相对误差主要有以下几种形式。

(1)实际相对误差

绝对误差Δx与被测量的真值A0比值的百分数,称为相对误值,用γ0来表示,即

因为真值无法求到,常用A代替A0,此时的误差称为实际相对误差,用γA来表示,即

【例1-4】 用两只电压表测量两个大小不同的电压,测得值分别为x1=101V、x2=7.5V,绝对误差分别为1V和-0.5V,求两次测量的相对误差。

可见前者的绝对误差绝对值大于后者,但误差对测量结果的影响,后者却大于前者,因而用相对误差衡量误差对测量结果的影响,比绝对误差更加确切。

(2)示值误差

在误差较小、要求不太严格的场合,常采用示值x代替A,此时的误差称为示值误差。用γx表示,即

由于示值x可直接通过测量仪表的读数获得,所以这是一种在近似测量和工程测量中使用较多的一种表示方法。

【例1-5】 例1-4中两次测量的示值误差是多少?

解:

由上例可知,当rArx之值不大时,Ax很接近,两者的差异很小。当误差本身较大时,就应当注意两者的区别了。

(3)满度相对误差

当采用绝对误差Δx与仪器的满度值xm比值的百分数来表示的误差称为满度相对误差(或引用相对误差)。用γm表示,即

式中 xm——被测量所在量程的满刻度值。

(4)仪表准确度等级

满度相对误差的分子、分母都由仪器的固有性能所决定,所以常用它来对电子仪器进行分级。仪表的准确度等级是指在规定的条件下,在仪表的全标尺范围内,其所对应的误差小于或等于最大引用误差,常用字母s表示。仪表等级与最大引用误差关系如表1-1所示。

1-1 仪表等级与最大引用误差

在实际应用中,为了简化,经常引入仪表准确度等级的表示法,即

s%=±γm

式中 s——仪表等级;

γm——满度相对误差。

γm值划分,常用电工仪表的准确度等级可分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七级。例如,s=1.0,表示仪表的满刻度相对误差γm≤±1.0%。仪表等级数值越大,满度相对误差越大,准确度越低。

3.仪表选择的一般原则

(1)量程的选择

根据满度相对误差可得

那么测量的绝对误差为

Δxxm·s%

所以示值相对误差为

在实际测量时,每次测量的示值不可能都达到满度值,在s一定的情况下,由上式可以看出,示值x越接近满刻度值xmγx值越小,测量的准确度就越高。

【重要结论】 当仪表的准确等级确定后,示值越接近满刻度,示值相对误差越小。所以,在选用仪表时,应当根据测量值的大小来选择仪表的量程,尽量使测量的示值在仪表满刻度值(即量程)的2/3以上区域为宜。

(2)仪表等级的选择

通过前面的内容可知,仪表等级越大,满度相对误差越大,测量准确度就越低。那么为了获得较高的测量准确度,仪表的等级是否越小越好呢?可以通过下面这个例题来说明。

【例1-6】 要测量一个10V左右的电压,现有两块电压表。其中一块量程为100V、±1.0级,另一块量程为15V、±2.5级,问选用哪块电压表合适?

解:要判断哪块电压表合适,主要是判断哪块表的测量准确度更高。

(1)对100V、±1.0级电压表有

(2)对15V、±2.5级电压表,同理有

从计算结果可知,用15V、±2.5级电压表测量所产生的示值相对误差较小,所以选用15V、±2.5级电压表较为合适。由此可见,尽管15V电压表的准确度低,但被测电压示值x接近满刻度值xm,符合前面的量程选择原则。

【重要结论】 同样量程的仪表,仪表等级越高,测量越准确;而对于不同量程、不同等级的仪表,应当根据被测量的大小,兼顾仪表的等级和量程上限,合理地进行选择。

1.3.3 测量误差的来源和分类

1.误差的来源

所有的测量结果都有误差,为了减小测量误差,提高测量结果的准确度,需要明确测量误差的主要来源,以便估计测量误差和进行相应的处理来控制测量误差。造成误差的原因是多方面的,主要来源如表1-2所示。

1-2 误差的主要来源

2.误差分类

虽然误差的来源很多,但根据测量误差的性质,测量可分为系统误差、随机误差和粗大误差3大类。

(1)系统误差

系统误差有时也称为确定性误差。它是指在相同的测试条件下,多次测量同一量时,测量误差的绝对值和符号保持恒定,或在测量条件改变时,测量误差按某种确定规律变化的误差。产生系统误差的主要因素有:测量设备有缺陷或测量仪器本身不准造成的误差,未能满足仪器规定的使用条件而存在的误差,测量方法不完善、电子元器件性能不稳定造成的误差等。例如,零点偏移、刻度不准、转动部分摩擦和忽略电流表的内阻,认为电压表的内阻无穷大等。

(2)随机误差

随机误差又称为偶然误差,这是由于偶发因素引起的一种大小和方向都不确定的误差。例如噪声干扰、空气扰动、电磁场微变和大地微震等引起的误差,它的存在即使同一条件、多次重复测量同一量,所测的结果也不相同。一般来说这种误差比较小,在工程测量中可以忽略。

(3)粗大误差

粗大误差又称为疏忽误差,这是由于测量人员在测量过程中,操作、读数、记录和计算的错误面引起的误差。例如读数错误、记录错误等。它严重歪曲了测量结果,含有这种误差的实验数据是不可靠的,应当剔除不用。

1.3.4 测量结果的评价和处理

1.测量结果的评价

测量结果的优劣可采用正确度、精密度和准确度3个方面来进行评价。

(1)正确度

正确度表示测量结果中存在的系统误差的大小程度,是衡量测量结果正确性的尺度。由于含有粗大误差的测量结果剔除不用,因此任何一次的测量误差主要是由系统误差和随机误差组成的。系统误差越小,正确度就越高。

(2)精密度

精密度表示测量结果中存在的随机误差的大小程度。测量结果的好坏,不能单纯用正确度来衡量,即使正确度相同,但是测量数据的分散程度也可能有所不同。可见,随机误差决定了测量值的分散程度,测量值越集中,其精密度就越高。

(3)准确度

准确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合,表示测量结果与真值的一致程度。在一定的测量条件下,总是力求测量结果尽量接近真值,即力求准确度要高。如果测量的正确度和精密度越高,则测量的准确度就越高。

测量结果准确度的含义,可用图1-3来进行表示。图中空心点测量值的真值,实心点为多次的测量值。图1-3a中测量值的平均值与真值相差不大,但数据比较分散,说明测量的正确度较高而精密度较低;图1-3b中测量值的平均值与真值相差较大,但数据集中,即测量的重复性好,说明测量的正确度低而精密度高;图1-3c中测量值的平均值与真值相差很小,而且数据比较集中,说明测量的正确度和精密度都高,即准确度高。在测量中,只有准确度才能对测量结果进行最确切的评价。

图1-3 测量结果的图形描述

a)正确度高、精密度低 b)正确度低、精密度高 c)正确度和精密度都高

2.测量结果的处理

测量数据结果的处理就是从测量的原始数据中得出被测量的最佳结果,并确定其准确的程度。整理实验数据通常用有有效数字法。

(1)有效数字的概念

有效数字是指从左边第一个非零数字算起,直到右边最后一位数字为止的所有数字。例如,某电压值为0.04060V,其中4、0、6、0四个数字是有效数字,左边的两个“0”不是有效数字,而数字“4”后所有的“0”都是有效数字。最末位的“0”是估测的,因此称为欠准数字,它左边的有效数字均为准确数字。需要注意的是,像这样的数字不能任意改写为0.0406或0.040600,因为这意味着准确程度的变化。另外,有效数字中非零数字后的0不能随意省略,例如2000V可以写成2.000kV,2.000×103V,而不能写成2kV、2.0kV或2.00kV。

此外,位数较多的数字可采用科学记数法(即有效数字×10n的形式),其中有效数字只保留1位整数。例如1060000Hz,如要保留4位有效数字,应写成1.060×106Hz。

(2)有效数字的舍入规则

当只需要保留N位有效数字时,对第N+1位及其后面的各位数字就要根据舍入规则进行处理,一般采用的舍入规则如下:

①四舍六入。当第N+1位为小于5的数时,舍掉第N+1位及其后面的所有数字;若第N+1位为大于5的数时,舍掉第N+1位及其后面的所有数字的同时第N位加1。

②第N+1位恰为5。若紧挨着5的后面有非零数字时,则第N位加1;若5后面无数字或为0时,则由5之前的数的奇偶性来决定舍入,如果5之前为奇数则舍5且第N位加1,如果5之前为偶数则舍5,第N位不变。可概括为:奇入偶舍。

【例1-7】 将下列数字保留3位有效数字。

25.54 76.252 28.250 3.995 196500 0.006325

解:25.54→25.5 76.252→76.3 28.250→28.2 3.995→4.00

96500→1.96×105 0.006325→0.00632(或6.32×10-3

(3)有效数字的运算规则

①加减运算。各运算数据以小数位最少的数据位数为准,其余数据可多取一位小数(参考数字),但最后结果应与小数位最少的数据小数位相同。例如,256.0+98.7+5.287+0.1352≈256.0+98.7+5.29+0.14=360.13≈360.1。

②乘除运算。各运算数据的位数选取与加减运算一样,不同的是最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。例如,4.13×5.638≈4.13×5.64=23.2932≈23.3。

③平方开方运算。运算结果比原数多保留一位有效数字。例如,25.62≈655.4,1132≈1.277×104