第4章 函数的导数与微分

函数的导数与微分是微分学的重要内容。导数的研究起源于下面两个实际应用中的例子。

例4-1 假设一个直线运动中的质点在t时刻的位移可以由函数s(t)描述。在一小段时间h后，质点的位移变为s(t+h)，这样，在h这段时间内的总位移为s(t+h)−s(t)，这时，如果h足够小，则这段时间内质点的平均速度就是其瞬时速度

例4-2 如果已知函数f(x)，函数在已知点x=x0处的切线如何确定呢？可以求出x0点的函数值f(x0)，在x0附近再找到一个点x，且该点的函数值f(x)也可以直接计算出来，如果x无限接近于x0，则可以求出切线的斜率为

这两个例子分别是牛顿和莱布尼茨考虑的问题，基于这样的研究背景，他们几乎同时提出了函数导数的概念，但他们采用了不同的名称。

本章将介绍微分学的概念与计算。4.1节将给出单变量函数的导数的定义，并演示通过定义计算导数的方法。此后的内容将介绍基于MATLAB的其他单变量函数微分学的计算方法，包括导数、高阶导数与微分、复合函数的导数、矩阵函数导数等内容。4.2节将介绍参数方程导数的计算，并给出通用的MATLAB函数，可直接用于求取参数方程的高阶导数。4.3节介绍偏导数的计算方法与全微分的概念。4.4节将介绍场论的基本概念，并介绍梯度、散度、旋度与势的计算方法。4.5节介绍一些常用的导数矩阵，例如Jacobi矩阵、Hesse矩阵与Laplace算子等。隐函数的导数概念与计算方法将在4.6节中探讨，并给出高阶偏导数的通用MATLAB计算函数。4.7节将介绍导数与微分的一些应用，例如极值的计算、Newton–Raphson迭代法求解方程等应用，还将介绍曲面切面构造的方法等。