三、计算题

1假定对新汽车的需求价格弹性E_d＝－1.2，需求收入弹性为E_y＝3.0，计算：

（1）其他条件不变，价格提高3%对需求的影响；

（2）其他条件不变，收入上升2%对需求的影响。（华中科技大学2003研；武汉大学2009研）

解：（1）由需求价格弹性可知：

ΔQ/Q＝E_d×（ΔP/P）＝－1.2×3%＝－3.6%，即在其他条件不变的情况下，如果价格提高3%，则需求将下降3.6%。

（2）由需求收入弹性可知：

ΔQ/Q＝E_y×（ΔM/M）＝3.0×2%＝6%，即在其他条件不变的情况下，如果收入上升2%，则需求将上升6%。

2芯片需求价格弹性为－2，存储器需求价格弹性为－1。

（1）将它们的价格提高10%，其销售量有何影响？销售收入有何影响？

（2）能否根据题中信息决定哪种产品会给公司带来最大收益？可以请说明理由，不可以需补充什么信息？（厦门大学2019研）

解：（1）需求价格弹性表示需求量变动对于价格变动的反应程度。

设需求函数为Q＝Q（P），由于TR＝P×Q（P），所以

当e_d＜－1时，有dTR/dP＜0，从而总收益TR与商品的价格P反方向变动。

当e_d＞－1时，有dTR/dP＞0，从而总收益TR与商品的价格P同方向变动。

当e_d＝－1时，有dTR/dP＝0，从而总收益TR与商品的价格P的变动无关。

①因为芯片价格弹性为－2＜－1，所以芯片价格提高10%使其销售量下降了10%×2＝20%；又因为芯片价格提高的幅度小于芯片销售量下降的幅度，所以其销售收入下降了。

②因为存储器价格弹性为－1，所以存储器价格提高10%使其销售量下降了10%×1＝10%；因为存储器价格提高的幅度等于存储器销售量下降的幅度，所以其销售收入不变。

（2）设反需求函数为P＝P（Q），则该产品能给公司带来的总收益为TR＝P（Q）×Q，其边际收益为：

①对芯片而言，其边际收益为：

这意味着此时若增加芯片的产量可以使公司收益进一步提高。

②对存储器而言，其边际收益为：

这意味着此时若增加存储器的产量无法进一步提高公司收益，即存储器给公司带来了最大收益。

3设需求曲线的方程为Q＝10－2P，求其点弹性值为多少？怎样调整价格，可以使总收益增加？（山东大学2000研）

解：由需求函数可得需求价格点弹性，即：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2P/Q

dTR/dP＝Q＋P（dQ/dP）＝Q[1＋（P/Q）×（dQ/dP）]＝Q（1－e_d）

可以看出，当1－e_d＝1－2P/（10－2P）＝0时，总收益最大。

解得：P＝2.5。

即为了保证总收益最大化，应该将价格调整为2.5。

4已知消费者对某种商品的需求函数为Q＝100－2P，写出相应的总收益函数和边际收益函数。在什么价格水平上，需求价格弹性系数为1？（中国人民大学2004研）

解：（1）由需求函数可得出反需求函数为：P＝（100－Q）/2。

总收益函数为：TR＝PQ＝Q（100－Q）/2。

边际收益函数为：MR＝dTR/dQ＝50－Q。

（2）边际收益

MR＝dTR/dQ＝P＋（dP/dQ）Q＝P[1＋（dP/dQ）（Q/P）]＝P（1－1/E_d）

当E_d＝1时，MR＝0。将MR＝0代入边际收益函数，可得Q＝50。

将Q＝50代入反需求函数，可得P＝25。

即当价格为25时，需求价格弹性系数为1。

5A公司和B公司是家电行业的两个竞争者，它们的产品需求曲线分别为：A公司：P_A＝1000－5Q_A；B公司：P_B＝1600－4Q_B。A、B公司目前销售量分别为100个单位和250个单位。求：

（1）这两家公司当前的点价格弹性？

（2）B公司实施降价策略使其销售量增加到300个单位，但A公司销售量降到75个单位，那么A公司产品的交叉需求弹性为多少？（北京理工大学2008研）

解：（1）当A公司销售量为100个单位时，由需求函数可得：P_A＝1000－5×100＝500，将相应的价格-需求量组合代入需求价格点弹性计算公式，可得：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－0.2）×（500/100）＝1

同理可得B公司当前的点价格弹性为：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－0.25）×（600/250）＝0.6

即A公司和B公司当前的点价格弹性分别为1和0.6。

（2）B公司要使其销售量增加到300个单位，则新的价格水平P_B′＝1600－4×300＝400，即：

ΔP_B＝P_B′－P_B＝400－600＝－200

则可得A公司产品的交叉需求弹性为：

e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝[（75－100）/100]/（－200/600）＝0.75

即A公司产品的交叉需求弹性为0.75。

6设某生产者面临的反需求函数是P＝100－Q^1/2。

（1）计算价格P＝60时的需求弹性，此时生产者是应该提高价格还是降低价格？说明其原因。

（2）计算价格P＝20时的需求弹性，生产者此时是应该提高价格还是降低价格？亦说明其原因。（华中科技大学2005研）

解：由反需求函数可得出需求函数为：Q＝（100－P）²，则：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝（200－2P）×（P/Q）

（1）当价格P＝60时，根据需求函数可得出Q＝1600，则该价格水平下的需求价格点弹性为：

e_d＝（200－2×60）×（60/1600）＝3

此时，生产者应该降低价格，因为此时该商品富有弹性，降低价格会使生产者的收益增加。

（2）当价格P＝20时，根据需求函数可得出Q＝6400，则该价格水平下的需求价格点弹性为：

e_d＝（200－2×20）×（20/6400）＝1/2

此时，生产者应该提高价格，因为此时该商品缺乏弹性，提高价格会使生产者的收益增加。

7假设对于某商品，市场上共有100个消费者，该商品的50%为75个彼此相同的消费者所购买，他们每个人的需求价格弹性为2；另外50%的商品为其余25个彼此相同的消费者所购买，他们每个人的需求价格弹性为3，试求这100个消费者合起来的需求价格弹性。（东北财经大学2009研）

解：个人需求价格弹性与市场需求价格弹性之间的关系可视为消费者在市场需求量的份额乘其需求价格弹性之和。数学证明如下（假设市场上有两个消费者，市场上有n个消费者可类似推导）：

Q＝q_A^d＋q_B^d

本题中，将相关数据代入可得按100个消费者合计的需求价格弹性系数为：

e_d＝（1/2）×2＋（1/2）×3＝2.5

8香蕉的反需求函数是P_d＝18－3Q_d，反供给函数是P_s＝6＋Q_s。

（1）假设没有税收和补贴，均衡价格和均衡量各是多少？

（2）假设对香蕉的生产者支付每单位（公斤）2元的补贴，新的均衡价格和均衡量各是多少？

（3）计算对香蕉提供生产补贴后消费者剩余和生产者剩余的变化额。

（4）如果苹果和香蕉之间的交叉价格弹性为0.5，那么在苹果价格保持不变的情况下，对香蕉生产者的补贴会对苹果的需求量产生怎样的影响？（南开大学2008研）

解：（1）假如没有税收和补贴，根据均衡条件Q_d＝Q_s，有：（18－P）/3＝P－6。

解得：P＝9，Q＝3。

即假设没有税收和补贴，均衡价格为9，均衡量为3。

（2）假设对香蕉的生产者支付每单位（公斤）2元的补贴，则反需求函数不变，反供给函数由原来的P_s＝6＋Q_s，改变为P_s＝4＋Q_s。于是，根据均衡条件有：（18－P）/3＝P－4。

解得：P＝7.5，Q＝3.5。

即假设对香蕉的生产者支付每单位（公斤）2元的补贴，新的均衡价格为7.5，均衡量为3.5。

（3）消费者剩余变化额为：ΔCS＝1/2×（3.5＋3）×（9－7.5）＝4.875。

生产者剩余变化额为：ΔPS＝1/2×（7.5－4）×3.5－1/2×（9－6）×3＝1.625。

对香蕉提供生产补贴后，消费者剩余增加4.875，生产者剩余增加1.625。

（4）由于苹果和香蕉之间的交叉价格弹性为正值，说明苹果和香蕉互为替代品。

交叉价格弹性为：e_xy＝（Δy_x/Q_x）/（ΔP_y/P_y）＝1/2。

ΔP_y/P_y＝－1/6，则ΔQ_x/Q_x＝－1/12。由于苹果价格保持不变，对香蕉生产者进行补贴，会导致香蕉价格下降，从而使苹果的需求量下降为原需求量的11/12。

9假设某商品的反需求曲线为P＝11－0.15Q；其反供给曲线为P＝1＋0.05Q；试求：

（1）市场达到均衡时，消费者剩余是多少？

（2）如果政府对这种商品每单位征收1.00元销售税，政府的税收收入是多少？

（3）在这1.00元的税收中，消费者和生产者各负担多少？（南开大学2005研）

解：（1）联立求解反需求函数和反供给函数：

P＝11－0.15Q

P＝1＋0.05Q

可得：均衡价格P^*＝3.5，均衡产量Q^*＝50。

根据消费者剩余定义，可得消费者剩余：

即市场达到均衡时，消费者剩余是187.5。

（2）政府对这种商品每单位征收1.00元销售税后，此时有P_d＝P_s＋1，即消费者支付的价格等于厂商拿到的价格加上税收。此时有：

P_d＝11－0.15Q

P_s＝1＋0.05Q

P_d＝P_s＋1

解得：P_d＝4.25，即均衡价格P^*＝4.25，均衡产量Q^*＝45。

政府的税收收入为：T＝tQ＝45。

即如果政府对这种商品每单位征收1.00元销售税，政府的税收收入是45。

（3）根据税收前后的均衡价格，在1.00元的税收中，消费者负担4.25－3.5＝0.75，生产者负担1－0.75＝0.25。

10某国国内对于某产品的需求和供给具有如下形式，需求函数：Q＝16000/P²；供给函数：Q＝P²/10。

（1）求完全竞争情况下的社会福利。

（2）如果政府对该产品实行P＝25元的最低限价，社会福利的损失是多少？

（3）假设国际市场上该产品的价格是10元，其生产成本远远低于国内。该国政府为了保护国内的生产者，对于进口的每单位产品征收税收5元。与不征收关税相比，社会福利的损失为多少？（清华大学2004研）

解：（1）市场均衡条件Q_s＝Q_d，即16000/P²＝P²/10，求解可得：P＝20。

将P＝20代入需求函数或供给函数，可得：Q＝40。

社会福利为：

（2）当P＝25时，Q_d′＝16000/25²＝25.6。

社会福利损失包括消费者和生产者剩余的损失，社会福利损失为：

（3）由于国际价格远低于国内价格，因此如果政府征收关税，国内价格降低为15元；如果不征收关税，国内价格为10元。当价格为15元时，需求量和供给量分别为71.1和22.5。因此，社会福利的损失为：

11已知某商品的需求价格弹性系数为0.5，当价格为每公斤3.2元时，销售量为1000公斤。若价格下降10%，销售量是多少？该商品降价后总收益是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（安徽大学2005研）

解：（1）商品的需求价格弹性表示当一种商品价格变化百分之一时所引起的该商品的需求量变化的百分比。商品的需求价格弹性系数为0.5，当价格下降10%时，需求量增加5%。因此，销售量为1050公斤。

（2）由于该商品的需求价格弹性系数为e_d＝0.5＜1，该商品是缺乏弹性的，根据价格弹性和总收益的关系可知，缺乏弹性的商品其价格与总收益呈同方向变动，商品降价会使得总收益减少。

（3）该商品降价前的总收益为TR＝PQ＝3.2×1000＝3200（元）。

降价后总收益为TR′＝3.2×（1－10%）×1050＝3024（元）。

因此，商品降价导致总收益减少3200－3024＝176（元）。