第2章 微观经济学中的数学工具
2.1 复习笔记
1．一元函数最大值问题
假设企业所获得的利润（π）仅取决于出售商品的数量（q），它的数学表达为π＝f（q），则利润最大化的产量q必须满足以下两个条件：
（1）最大化的一阶条件（必要条件）：对于上述一元函数，如果在某一点
取到最大值，它在该点的导数（如果存在）必为零，即
（2）最大化的二阶条件（必要条件）：在满足一阶导数等于零的条件下，并不能保证该点为极大值点，还必须满足二阶导数小于零，即
上述两个条件同时满足才构成最大化的充分条件。
2．多元函数的最值问题
函数f（x1，x2，…，xn）取最大值（或者最小值）的必要条件是，对于任意x的微小变化的组合都有dy＝0，这样该点必有：f1＝f2＝…＝fn＝0，此为极值的一阶条件。但这个条件并不能保证最大化，还需要考察该点处的二阶偏导数是否满足自身的二阶偏导数为负，如果满足才能保证最大化。
3．包络定理
在经济分析中，人们常常要考察经济中的某些参数的变化对目标函数（最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响，此时，包络定理为这种分析提供了方便。
考察如下一个最优化问题：
其中，x为n维向量，参数α为m维向量。
定义值函数和拉格朗日函数分别为：
包络定理可以表示为：
即参数αk对最大值函数（目标函数的最大值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对参数αk求偏导数，并且在最优解x*处取值。
4．有约束条件的最大化问题
求解具有约束条件最大化问题的一种方法是拉格朗日乘数法。假设求解x1，x2，…，xn的值，以便最大化下式：y＝f（x1，x2，…，xn）
其中部分自变量是有限制的，但可以将约束条件一般性地记为：g（x1，x2，…，xn）＝0
其中函数g表示所有x满足的关系。
构造拉格朗日函数：
有一阶条件为：
上述方程能够解出x1，x2，…，xn和λ的值。此解满足两个性质：第一，x服从约束条件；第二，所有这些服从约束条件的x使得
（与f）尽可能大。
5．有约束条件下的最大化问题中的包络定理
假设求解以下函数的最大值：y＝f（x1，x2，…，xn；a）
其变量服从约束条件：g（x1，x2，…，xn；a）＝0
函数f与g对参数a具有依赖性。求解这个问题的一种方法是建立拉格朗日表达式：
求解最优值
，…，
的一阶条件，它可以表示为：
即当参数a的改变（与所有重新计算的x的最优值）导致y的最优值的改变可由对拉格朗日表达式求偏导数，再将极值点的数据代入得到。因此，拉格朗日表达式在计算有约束条件下的问题和没有约束条件的问题时，包络定理起了相同的作用。
6．齐次函数
对于一个多元函数
，如果对于任意正数t，满足：
则称其为k次齐次函数。
（1）齐次函数的偏导数
一个k次齐次可微函数的各个偏导数是k－1次齐次的。例如，对齐次函数表达式的两边分别关于x1求偏导数，有：
可见f1是满足k－1次齐次的定义的。
（2）欧拉定理
齐次函数的一个重要性质是对因子t求偏导得到的。对齐次函数表达式的两边分别对t求偏导得：
令t＝1，有
这就是齐次函数的欧拉定理。它说明了对于齐次函数，其函数值与其各个偏导数之间有确定的关系。
（3）位似函数
齐次函数经过任意的单调映射得到的函数称之为位似函数。位似函数保持了原函数自变量到函数值对应的序关系。即对于函数f，如果一组自变量对应的函数值大于另一组的，那么经过单调映射后前者的函数值仍大于后者。但是由于单调映射有很多可能的形式，原齐次函数的很多性质是不能保持的。要注意的是，位似函数有个很好的性质，即函数各个自变量之间的隐含替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其绝对值。
定积分的微分运算规律：对积分变量求微分；对积分上限求微分；对非积分变量求微分。
7．动态最优化
（1）最优控制问题
假设一个决策者希望在时间区间[t0，t1]内找到变量x（t）的最优的时间路径。x随t的变化由下述微分方程表示：
其中，变量c（t）被用于“控制”x（t）的变化。在每一个时期，决策者都能够得到f[x（t），c（t），t]的收益，同时他的目标是最大化
（2）极大值问题
单一时间点上决策者的决策问题：不仅仅关注目标函数的现值，同样也关注x（t）值的隐性变化。x（t）的现值由λ（t）x（t）给出，它的即时变化率由下式给出：
同时，在任意时间t，决策者整体关注的函数为：
上述表达式达到最优化所需要满足的条件为：
或者
或者
这就是动态问题的两个最优化条件。这两个条件也经常被称为极大值原理。
8．数理统计
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。对任意的随机变量，它的概率密度函数（PDF）能够体现其每一个特定结果出现的概率。任意概率密度函数都要满足f（x）≥0，同时函数值求和（或者积分）为1。常用的概率密度函数有：二项分布、均匀分布、指数分布和标准正态分布。