第7章　采　样

7.1　复习笔记

一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理

1冲激串采样

（1）冲激串采样的定义

冲激串采样是指用一个周期冲激串p(t)去乘待采样的连续时间信号x(t)。

该周期冲激串p(t)称为采样函数，周期T称为采样周期，而p(t)的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。

（2）采样过程（图7-1）

在时域中有

其中

即

由相乘性质

有

因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有

即X_p(jω)是频率ω的周期函数，它由一组移位的X(jω)的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。

图7-1　冲激串采样

（3）采样定理

设x(t)是某一个带限信号，在|ω|＞ω_M时，X(jω)＝0。如果ω_s＞2ω_M，其中ω_s＝2π/T，那么x(t)唯一地由其样本x(nT)，n＝0，±1，±2，… 所确定。

已知这些样本值，重建x(t)的办法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ω_M而小于的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x(t)。频率2ω_M称为奈奎斯特率。

2．零阶保持采样

（1）零阶保持的含义（图7-2）

在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止。

图7-2　利用零阶保持采样

（2）零阶保持采样的过程

零阶保持的输出x₀(t)在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到。

①用一个单位冲激响应为h_r(t)，频率响应为H_r(jω)的线性时不变系统来处理x₀(t)。

②给出一个H_r(jω)，以使r(t)＝x(t)。

这就要求

若H的截止频率等于ω_s/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。

图7-3　作为冲激串采样，再紧跟一个具有矩形单位

冲激响应的线性时不变系统的零阶保持

图7-4　为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性

二、利用内插由样本重建信号

内插是指用一连续信号对一组样本值的拟合。

1．零阶保持

2．线性内插（一阶保持）

（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来。

（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）：

①输出x₀(t)为时

上式体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。

②对于理想低通滤波器H(jω)，h(t)为

所以有

按照上式在ω_c＝ω_s／2时的重建过程如图7-5所示。

图7-5　利用sinc函数的理想带限内插

（a）带限信号x(t)；

（b）x(t)的样本冲激串；

（c）用x_r的sinc函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。

3．高阶保持

三、欠采样的效果：混叠现象

混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当ω_s＜2ω_M时，x(t)的频谱X(jω)不在X₀(jω)中重复，因此利用低通滤波不能把x(t)从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号x_r(t)不等于x(t)。

四、连续时间信号的离散时间处理

1对连续时间信号的处理方法（图7-6）

图7-6　连续时间信号的离散时间处理

（1）连续时间信号x_c(t)可以完全用一串瞬时样本值x_c(nT)来表示：

x_d[n]＝x_c(nT)

（2）把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节。

图7-7　用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换。

（a）整个系统；

（b）两种采样率的x_p(t)，虚线包络代表x_c(t)；

（c）两种不同采样率的输出序列。

①第一步代表一个采样过程，冲激串x_p(t)是一个冲激序列，各冲激的幅度与x_c(t)的样本值相对应，而在时间间隔上等于采样周期T。

②在从冲激串到离散时间序列的转换中，得到x_d[n]；这是以x_c(t)的样本值为序列值的同一序列，但是其单位间隔采用新的自变量n。

实际上从样本的冲激串到样本的离散时间序列的转换可认为是一个时间的归一化过程。

③离散时间到连续时间的转换，即恢复过程。

连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示。

2．X_c(jω)、X_p(jω)和X_d（e^jΩ）的关系

x_c(t)和y_c(t)的连续时间傅里叶变换分别用_Xc(jω)和Y_c(jω)表示；而x_d[n]和y_d[n]的离散时间傅里叶变换分别用和表示。

（1）用x_c(t)的样本值来表示x_p(t)的连续时间傅里叶变换X_p(jω)

又δ（t－nT）的傅里叶变换是e^-jωnT，所以

现在考虑x_d[n]的离散时间傅里叶变换，即

因为x_d[n]＝x_c(nT)

从而可得X_d（e^jΩ）和X_p(jω)的关系

又因为

因此得到

（2）X_c(jω)、X_p(jω)和X_d（e^jΩ）三者之间的关系

①X_d（e^jΩ）是X_p(jω)的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。

②x_d[n]和x_r(t)之间的频谱关系，是通过先把x_c(t)的频谱X_c(jω)按

进行周期重复，然后再跟着一个按

的线性频率尺度变换联系起来的。

图7-8　在两种不同采样率下，X_c(jω)、X_p(jω)和X_d(e^jΩ)之间的关系

3．利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

图7-9　利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

图7-10　图7-9所示系统的频域说明。

（a）连续时间信号的频谱X_c(jω)；

（b）冲激串采样以后的谱；

（c）离散时间序列x_d[n]的谱；

（d）H_d(e^jΩ)和X_d(e^jΩ)相乘后得到的Y_d(e^jΩ)；

（e）H_p(jω)和X_p(jω)相乘后得到的Y_P(jω)；

（f）H_c(jω)和X_c(jω)相乘后得到的Y_c(jω)。

（1）图7-10左边是某一代表性的频谱X_c(jω)、X_p(jω)和X_o(e^jΩ)，其中假定ω_M＜ω_s/2，所以没有混叠发生。相应于时间滤波器输出的谱y_d(e^jΩ)是X_d(e^jΩ)和H_d(e^jΩ)相乘，如图7-10（d）所示。

（2）变换到Y_e(jω)就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-10（e）和图7-10（f）所示。

（3）因为Y_d(e^jΩ)是两个互为重叠的频谱积，如图7-10（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。

（4）将图7-10（a）和（f）讲行比较，可得，在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-10的整个系统事实上就等效于一个相应为H_c(jω)的连续时间系统，而H_c(jω)与离散时间频率响应H_d(e^jΩ)的关系为

等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。

4．数字微分器

（1）连续时间微分滤波器的频率响应

（2）截止频率为ω_c的带限微分器的频率响应

（3）ω_s＝2ω_c时相应的离散时间的频率响应H_d(e^iΩ)

因此只要x_c(t)的采样中没有混叠产生，y_c(t)一定是x_c(t)的导数。

图7-11　连续时间理想带限微分器的频率响应H_c(jω)＝jω，|ω|＜ω_c

图7-12　用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应

5．半采样间隔延时

（1）在输入x_c(t)是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出是用下列关系联系起来的：

其中Δ代表延时时间。

（2）根据时移性质，频率响应为

（3）截止频率为ω_c的带限微分器的频率响应（图7-13（a））。要被实现的等效连续时间系统必须是带限的，因此选取

ω_c是该连续时间滤波器的截止频率。即H_c(jω)对于带限内的信号就相应于的一个时间移位，而对于比ω_c高的频率则全部滤除。

（4）若取采样频率ω_s＝2ω，则相应的离散时间频率响应（图7-13（b））为：

图7-13　

（a）连续时间延时系统频率响应的模和相位特性；

（b）相应的离散时间延时系统频率响应的模和相位特性。

（5）半采样间隔延时

当，即输入的延时，若Δ/T是一个整数，序列y_d[n]是x_d[n]的延时，即

五、离散时间信号采样

1脉冲串采样

（1）采样过程

由采样过程形成的新序列x_p[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即

（2），和的关系

在频域内有

采样序列p[n]的傅里叶变换是

式中采样频率。于是有

图7-14　一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果

（a）原始信号的频谱；

（b）采样序列的频谱；

（c）在时已采样信号的频谱；

（d）在时已采样信号的频谱，这时发生了混叠。

（3）信号的恢复（图7-15）

在没有频谱重叠的情况下，如实地在和2π的整数倍附近再现，这样就能利用增益为N，截止频率大于ω_m而小于的低通滤波器从中恢复出来。（该低通滤波器的截止频率为。）

图7-15　利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号。

（a）一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；

（b）信号的频谱；

（c）的频谱；

（d）截止频率为的理想低通滤波器的频率响应；

（e）重建信号的频谱。

（4）该低通滤波器的单位脉冲响应

重建的序列是

或者等效地写成

上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。

在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为，

其中是内插滤波器的单位脉冲响应。

2．离散时间抽取与内插

（1）离散时间抽取

①采样序列：用已采样序列中的每隔N点上的序列值构成的，即

或因为和在N的整数倍上都是相等的，可等效为

②和的关系

或利用，有

令或者，且因为当n不为N的整数倍时，，所以

于是的傅里叶变换为

所以二者的关系为

已采样序列和抽取序列的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。如果原来的频谱被适当地带限，以至于在中不存在混叠，抽取的效果是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。

③和抽取序列之间的关系：

a．如果这个原始序列经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将采样率减小为原来的l/N的结果。

b．为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列的就不能占满整个频带。即，如果序列能够被抽取而又不引入混叠，那么原来的连续时间信号是被过采样了的，从而原采样率可以减小而不会发生混叠。因此，抽取的过程往往就称为减采样。

（2）内插（或增采样）

内插（或增采样）是把一个序列转换到一个较高的等效采样率上的过程，基本上是抽取或减采样的逆过程。

由x_b[n]可形成序列x_p[n],这只需要在x_b[n]的每一个序列值之间插入(N－1)个幅度为零的序列值即可。然后可以利用低通滤波从x_p[n]中得到这个已被内插了的序列x[n]。