第2章　确知信号

2.1　复习笔记

一、确知信号的类型

1．确知信号的定义

确知信号是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。

2．确知信号的分类

（1）周期信号和非周期信号

按照是否具有周期重复性，确知信号可以分为周期信号和非周期信号。

①周期信号

a．周期信号的定义

若信号s(t)满足下述条件

式中T₀＞0，为一常数，称此信号为周期信号。

b．周期信号的参量

信号的周期为满足式（2-1-1）的最小T₀，1/T₀称为基频f_0。

②非周期信号

非周期信号是表达式s(t)不具备式（1）性质的信号。

（2）能量信号和功率信号

按照能量是否有限区分，信号可以分为能量信号和功率信号。

①信号的能量和平均功率的定义

a．信号的能量E计算式为

其中，E的单位是焦耳（J）。

b．信号的平均功率

信号的平均功率定义为

②能量信号和功率信号的定义

a．能量信号

若信号的能量是一个正的有限值，即

则称此信号为能量信号，其特点是能量等于一个有限正值，平均功率为零。

b．功率信号

若信号的平均功率是一个正的有限值，即

则称此信号为功率信号，其特点是平均功率等于一个有限正值，能量为无穷大。

二、确知信号的频域性质

1．功率信号的频谱

（1）周期性的功率信号频谱

①双边频谱函数的定义

设一个周期性功率信号s(t)的周期为T₀，则将其频谱函数定义为

式中f₀＝1／T₀；n为整数，－∞＜n＜＋∞；C_n为nf₀的离散函数，只在f₀d的整数倍上取值。

②双边频谱函数的参量

频谱函数C_n是一个复数，代表在频率nf₀上信号分量的复振幅，可以把它写作

　　  （2-1-2）

式（2-1-2）中｜C_n｜为频率nf₀的信号分量的振幅，θ_n为频率nf₀的信号分量的相位。

③双边频谱函数的性质

对于物理可实现的实信号，有

即负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的。

（2）傅里叶级数

①傅里叶级数一般形式

周期性信号可以展开成如下的傅里叶级数

②傅里叶级数特殊形式

a．实信号形式

对于物理可实现的实信号，展开成如下的单边傅里叶级数

式中实信号s(t)的各次谐波的振幅，相位θ_n＝－arctan(b_n／a_n)。

b．实偶信号形式

若s(t)不但是实信号，而且还是偶信号，则单边谱为

式中，Re(C_n)为C_n的实部；Im(C_n)为C_n的虚部。

2．能量信号的频谱密度

（1）频谱密度的定义

一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度

（2）能量信号的频谱密度S(f)和周期信号的频谱函数C_n的主要区别

①S(f)是连续谱，C_n是离散谱。

②S(f)的单位是伏／赫（V／Hz），而C_n的单位是伏（V）。

（3）频谱密度的性质

①频谱密度的正频率部分和负频率部分成复数共轭关系。即

②能量信号的频谱密度，因能量信号的能量有限，所以分布在连续频率轴上。

（4）一些常用信号的傅里叶变换

表2-1  常用信号的傅里叶变换

3．能量信号的能量谱密度

（1）能量谱密度的定义

设一个能量信号s(t)的能量为E，若此信号的傅里叶变换（频谱密度）为S(f)，则由巴塞伐尔（Parseval）定理得知

令G(f)＝|S(f)|2（J／Hz），称G(f)为能量谱密度。

（2）能量谱密度的物理解释

能量谱密度表示在频率f处宽度为df的频带内的信号能量，或单位频带内的信号能量。

（3）能量谱密度的计算

由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数。则

4．功率信号的功率谱密度

（1）功率谱密度的定义

假设将功率信号s(t)截短为长度等于T的一个截短信号s_T(t)，－T/2＜t＜T/2，s_T(t)变成一能量信号，其能量谱密度为|s_T(f)|2，则信号的功率谱密度P(f)为

（2）信号功率的定义

信号s(t)的功率为

（3）周期性功率信号的频谱

周期性功率信号的频谱为

  （2-1-3）

若f₀是此信号的基波频率，则C_n是此信号的第n次谐波的振幅；

（4）功率谱

①离散功率谱

式（2-1-3）中|C_n|2为第n次谐波的功率，可以称为信号的（离散）功率谱。

②连续功率谱

用连续的功率谱密度表示此离散谱为

则此信号的功率谱密度P(f)为

三．确知信号的时域性质

1．能量信号的自相关函数

（1）能量信号的自相关函数的定义

能量信号s(t)的自相关函数的定义为

自相关函数表示一个信号与延迟τ后的同一信号间的相关程度。

（2）能量信号的自相关函数的特性

①自相关函数R(τ)和时间t无关，只和时间差τ有关。

②当τ＝0时，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量，即

③R(τ)是τ的偶函数，即

R(τ)＝R(－τ)

（3）能量信号的自相关函数和能量谱密度之间的关系

①能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度，即

②能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数，即

R(τ)和|S(f)|2构成一对傅里叶变换。

2．功率信号的自相关函数

（1）功率信号的自相关函数的定义

（2）功率信号的自相关函数的特性

①当τ＝0时，功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率，即

②功率信号的自相关函数是偶函数。

（3）功率信号的自相关函数的特例

①周期性功率信号自相关函数的定义

②周期性功率信号的自相关函数和功率谱密度之间的关系

a．P(f)的逆傅里叶变换是R(τ)

b．R(τ)的傅里叶变换是功率谱密度

3．能量信号的互相关函数

（1）能量信号的互相关函数的定义

两个能量信号s₁(t)和s₂(t)的互相关函数的定义为

互相关函数反映了一个信号和延迟τ后的另一个信号间相关的程度。

（2）能量信号的互相关函数的特性

①互相关函数R₁₂(τ)和时间t无关，只和时间差τ有关。

②互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即有

R₂₁(τ)＝R₁₂(－τ)

（3）互相关函数和信号能量谱密度的关系

互相关函数和互能量谱密度是一对傅里叶变换，即

4．功率信号的互相关函数

（1）功率信号的互相关函数的定义

两个功率信号s₁(t)和s₂(t)的互相关函数的定义为

（2）功率信号的互相关函数的特性

①功率信号的互相关函数R₁₂(τ)和时间t无关，只和时间差τ有关。

②互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关。即

③若两个周期性功率信号的周期相同，则有

（3）功率信号的互相关函数和其功率谱之间的关系

周期性功率信号的互功率谱C₁₂是其互相关函数R₁₂(τ)的傅里叶级数的系数