2.3　名校考研真题详解

一、判断题

1．若而收敛，则必收敛．[上海交通大学研]

【答案】对

【解析】若都发散，有而，由两边夹法则，

二、解答题

1．证明收敛数列的极限惟一．[中南大学研]

证明：反证法．设的极限不惟一，为α和β（α≠β），不妨设α>β．由ε的任意性，取．则对ε，存在N，对任意的n>N，有，所以同时还有，矛盾．故极限惟一．

2．求下列极限：

[浙江师范大学研]

解：（1）

（2）

（3）因为所以由两边夹法则可得极限为1．

（4）

3．若证明：[中国地质大学2006研]

证明：因为

，

所以对任意的ε，存在N，当n>N时，有，ε任意小，使q－ε<1，q+ε<1，则

4．求，其中[厦门大学研]

解：由的表达式知从而由数学归纳法知，又有所以

由此递推关系式及知为单调递增数列且有界，所以收敛，记，则

，解得故

5．用语言证明：．[重庆大学研]

证明：对任意的ε，存在，当时，有

6．用Heine定理及数列极限的惟一性定理证明函数极限的惟一性定理：若函数极限存在，则极限惟一．[天津大学2006研]

证明：假设a和b都是f（x）当时的极限，即．由Heine定理知，对任意的有

又由数列极限的惟一性定理知a＝b，故若函数极限存在，则极限惟一．

7．求．[华南理工大学研]

解：因为

又因为

所以

8．求下列各题的极限

[北京师范大学研]

解：

　 

（3）方法1：

令，则，等价于，所以

方法2：

取时，

（4）

不存在．

（5）

9．设，则

[中国科学院研]

证：（1）由假设知为单调递增的正数列．若有界，则存在，且l>0．

，两边取极限得，矛盾．

即证无界，又由于单调递增，

（2）令，则

10．证明：在x＝4处连续（用ε-δ语言证明）．[天津大学2006研]

证明：由于

对于任意的ε>0，取，则当时，有

所以f（x）在x＝4处连续．

11．设f(x)为[a，b]上的增函数，其值域为[f（a），f（b）]，证明：f（x）在[a，b]上连续．[江苏大学2006研]

证明：反证法．不妨设在处间断，由于f（x）为[a，b]上的增函数，故只能是第一类间断点，则及中至少有一个大于零，不妨设．于是，由函数f（x）的单调性知，f（x）无法取到和之间的数值．这与题设f（x）的值域为[f（a），f（b）]矛盾．从而f（x）在[a，b]上连续．

12．设f（x）定义在[a，b]上有第一类间断点，证明：f（x）在[a，b]上有界．[大连理工大学2006研]

证明：反证法．若f（x）在[a，b]上无界，即对任意的M，存在，使，由M的任意性，取M＝n，相应的存在，使．即，与f（x）定义在[a，b]上且有第一类间断点矛盾，故f（x）在[a，b]上有界．

13．证明在（0，+∞）上不一致连续，但对任意的δ>0，φ（x）在[δ，+∞）上一致连续．[南京理工大学2006研]

证明：取，显然有，所以φ（x）在（0，+∞）上不一致连续．当时，由于，所以由中值定理知

故对任意的δ>0，φ（x）在上一致连续．

14．f（x）在[a，b]上连续，存在且，使得对任意的x有，证明：f（x）为线性函数．[浙江大学2006研]

证明：先证，对任意的ε>0，令

显然G(a)＝G（b）＝0，可以证明G(x)≤0，否则存在，使．由于G（x）∈C[a,b]，必存在最大值，不妨设为最大值点．存在δ>0，当时，有，则

与矛盾，所以，即

．由ε的任意性，令，得到，同理可证，所以，f（x）是线性函数．

15．设f（x）在[a，a+2α]上连续，证明：存在，使得

成立．[北京大学研]

证明：令，则

所以由零点定理，一定存在使F（x）＝0，结论得证．

16．设，讨论f[g（x）]的连续性．[湖南大学研]

解：当时，

当时，

在点都不连续，在其它点上都连续．