第10讲　策略性博弈与纳什均衡

1．假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，，，对厂商产出的需求函数是

（1）如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？

（2）每个厂商的利润分别为多少？

（3）这个均衡是帕累托有效吗？

解：（1）如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是，，其中是一个极小的正数。理由如下：

假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为和，那么必有，，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，和都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足，。但是由于的下限也是10，所以均衡时。给定，厂商B的最优选择是令，这里是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为，。

（2）由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

　 　 ①

其中，，把这两个式子代入①式中，得到：

解得，由于必须严格大于零，这就意味着可以取一个任意小的正数，所以厂商B的利润为：

。

（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润还是零）。

2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，、、、是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，那么：

表10-1  博弈的支付矩阵

（1）且

（2）且

（3）且

（4）且

（5）且

【答案】（3）

【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着；同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着。

3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有一纳什均衡。这个对策的值是什么？

解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：

表10-2  玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为、和，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：

从而解得

类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是

其中是每克的价格。

（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？

（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？

解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得总供应量为（克）。此时，每个厂商的供应量为（克）。

（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：

根据一阶条件解得：

可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。

5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。

表10-3  博弈的支付矩阵

答：对于行为人2而言，优于，所以行为人2将会剔除掉策略，只在、这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在、策略中选择，则占优于和策略。当行为人2知道行为人1选择了策略时，他则最终会选择策略。所以，最终的占优均衡为（，）。

6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：

表10-4  划拳博弈的支付矩阵

（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：

对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。

（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为，游戏者2分别选择各个策略的概率为

。

当游戏者2分别以概率选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：

又因为，可以得到：。

同理，当对于游戏者1分别以概率选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：

又因为，可以得到：。

因此混合策略纳什均衡为：（，），其中

，

7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：

表10－5  巧克力商的博弈

（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？

（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？

（3）合作的结果是什么？

（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？

解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。

（2）如果1选择低，则有；如果1选择高，则有。

因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：

所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。

（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。

（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔的支付。

8．考虑在，，，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商，，，，他的行动集合为。用代表所选择的行动，，代表厂商的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：

，如果，，，；

，如果， ，，；

，如果，且，；

，如果，且，；

，如果，且，；

β，如果，且，；

（1）当时，是否存在纳什均衡？请证明。

（2）当时，是否存在纳什均衡？请证明。

证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。

表10-6  G汽车厂生产SM型汽车

表10-7  G汽车厂生产LG型的汽车

（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为的利润。因为，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说，因为

，所以C厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽车只能获得数量为的利润，高于它生产SM型号的汽车获得的数量为的利润，所以F厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为的利润，所以G厂同样不会背叛。

综上可知是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。

（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。

9．考虑下列策略型博弈（表10-8）：

表10-8  博弈的支付矩阵

请问，该博弈里有几个均衡？为什么？

答：（1）该博弈的纯策略均衡为（，）。

（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A分别选择策略、和的概率为；设参与人B分别选择策略、和的概率为；下面分三种情况讨论：

①达到混合均衡时，如果参与人A分别选择策略、和的概率都严格大于零，那么他选择策略、和的期望收益就要相等，即：

从而解得，矛盾，所以对参与人B而言，不存在使得，，同时大于零的混合均衡；对参与人A也有类似的结论成立。

②尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A而言，在、、三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：

a．A选择行动的概率为零，B选择行动的概率为零，即，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：

表10-9  博弈的支付矩阵

达到均衡时，A选择和应当得到相同的期望支付，即，整理得到；又因为，所以。从而解得；同理可得。所以和

就是一个混合均衡。

b．A选择行动的概率为零，B选择行动的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

c．A选择行动的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

d．A选择行动的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

e．A选择行动的概率为零，B选择行动的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

f．A选择行动的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

g．A选择行动的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

h．A选择行动的概率为零，B选择行动的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

i．A选择行动的概率为零，B选择行动的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：，。

③均衡时，如果A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动。这就要求在B的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。

综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：

和

10．考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈

表10-10  参与人3选择A时的支付矩阵

表10-11  参与人3选择B时的支付矩阵

每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者3的策略是选A矩阵或选B矩阵。

（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？

（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？

解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（，，）和（，，）。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由此可以得到这两个纯策略纳什均衡。

（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：

①参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（，）。

表10-12  参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵

②参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（，）和（，）。

表10-13  参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵

③参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（，）和（，）。

表10-14  参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵

若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（，，）。由于结果（，，）对应的支付对每个人而言都优于（，，）对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。

若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。

若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。

综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。

11．在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash）均衡解？

表10-15  博弈的支付矩阵

解：（1）这个博弈没有占优均衡。理由如下：在这个问题中，对于游戏者1而言，占优于，因此可以将排除掉。此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的可选策略只有和时，对游戏者2而言，占优于，因此可以把排除掉，此时博弈的支付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈没有占优均衡。

表10-16  排除掉以后的支付矩阵

表10-17  排除掉以后的支付矩阵

（2）纯策略纳什均衡为（，），（，）。由表10-17可知，当游戏者2选择时，游戏者1的最优策略为，当游戏者2选择时，游戏者1的最优策略是。同样，当游戏者1选择时，游戏者2的最优策略是，当游戏者1选择时，游戏者2的最优策略为。因此，纯策略纳什均衡为（，），（，），此时游戏者得到的支付为（3，4），（4，2）。

12．判断对错，并简要说明理由。

（1）占优均衡一定是纳什均衡。

（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。

（3）一个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。

答：（1）正确。理由如下：如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是最优的，特别地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。

（2）错误。理由如下：在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么对每个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就是两个人都坦白。

（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。

13．一个小镇中，有个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱（可以为零）而共收集到元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当集资被分配时，每人获得元，求解这一博弈的均衡。

解：假设参与人的捐款为，他的收益为，又记，那么给定，参与人的收益为：

特别地，是的线性函数，所以：

（1）当时，，所以参与人的最优选择是。

（2）当时，，所以无论参与人的捐款数量为多少，都不会影响他的收益，从而。

（3）当时，，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即。

由于所有行动者的行为相同，所以当时，纳什均衡为，，2，…，；

当时，纳什均衡为，，2；

当时，纳什均衡为。

14.Frank和Nancy约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面，但他们如此兴奋以至于忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸的是小镇上只有两个咖啡厅，“夕阳”和“海湾”，并且他们知道彼此的偏好。事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank的效用是3而Nancy的效用是2，如果二人都去了“海湾”，Frank的效用是2而Nancy的效用是3，如果二人去的地方不同，则效用水平都是0。

（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡吗？存在混合均衡吗？

（2）这一博弈存在占优策略均衡吗？

答：（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡和混合均衡。

①此博弈的支付矩阵如表10-18所示，根据支付矩阵可知该博弈的纯策略均衡为两个人都去相同的咖啡厅，即：（夕阳，夕阳）和（海湾，海湾）。

表10-18  约会博弈的支付矩阵

②假设Frank去夕阳咖啡厅的概率为，那么他去海湾咖啡厅的概率就是，均衡时的概率应当使得Nancy去夕阳或海湾咖啡厅的期望效用相等，即：

解得，则，即Frank去夕阳餐厅的概率为0.6，去海湾餐厅的概率为0.4；同理可得Nancy去夕阳餐厅的概率为0.4，去海湾餐厅的概率为0.6。

（2）这一博弈不存在占优策略均衡。若Nancy选择去夕阳，则Frank的最优策略是去夕阳；若Nancy去海湾，则Frank的最优策略是去海湾，因此对于Frank而言不存在占优策略。同样，对于Nancy来说也不存在一个占优策略，因此这一博弈不存在占优策略均衡。