第5章　不确定性与消费者行为

一、单项选择题

1．下列函数中，（　　）是可能来自一个风险偏好者的效用函数。

A．　 

B．

C．　

D．

【答案】Ｃ

【解析】风险偏好者的预期效用函数是一个凸函数，即，只有C项符合这一特点。

2．假定某投资者面对两个投资项目A和B。项目A报酬为（）的概率为1/2，报酬为（）的概率为1/2，。项目B的报酬固定为。该投资者选择了项目B。那么，该投资者为（　　）。

A．风险厌恶者

B．风险偏好者

C．风险中性

D．不确定

【答案】A

【解析】由题意可知，，即投资者投资项目A的期望值等于无风险条件下可以持有的固定报酬。投资者在这种前提下选择了项目B，表明他认为无风险条件下持有固定财富的效用大于项目A的期望效用，因此是风险厌恶者。

3．假设你去买一张彩票，而且你知道将以0.1的概率得到2500元，0.9的概率得到100元。假设你的效用函数为，那么你从所购买的彩票中得到的期望效用为（　　）。

A．360

B．14

C．46

D．1300

【答案】B

【解析】期望效用的计算公式为，其中，，为两种自然状态，发生的概率。将以及，，，代入期望效用计算公式，可得期望效用为14。

4．假设一个消费者的效用函数为，那么该消费者是（　　）。

A．风险规避的

B．风险中性的

C．风险偏好的

D．都不是

【答案】C

【解析】消费者的效用函数为，边际效用为，边际效用对的导数为，因此该效用函数为凸的，也就是该消费者是风险偏好者。

二、简答题

1．一个风险回避者有机会在以下两者之间选择，在一次赌博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不赌可以得到325美元，他会怎样选择？如果他得到的是320美元，他会怎样选择？

答：该消费者现在在无风险条件下（即不赌博条件下）可以持有的确定的货币财富是325美元，而在风险条件下即进行赌博时财富的期望值也是325美元（），由于他是风险回避者，他认为持有一笔确定的货币财富的效用大于在风险条件下赌博的期望效用，因而他会选择不赌博。

如果他得到的是320美元，他是否会选择赌博，取决于他的效用函数的形式。如果他是风险回避者，他可能会也可能不会选择赌博；如果他是风险爱好者，他会选择赌博。如果他是风险中立者，他也会选择赌博，因为风险中立者关心的是货币期望值极大，而不管风险多大，显然，在的情况下，他会选择赌博。

2．试分析消费者对于风险的不同态度。

答：对待风险，消费者有三种不同的态度：风险厌恶、风险偏好和风险中性。

（1）在消费者可能获得的确定性收入效用大于有风险条件下的期望收入效用，或者两者相等时，消费者偏爱确定性收入所得效用，这时消费者成为风险厌恶者。

（2）在消费者可能获得的确定性收入效用小于有风险条件下期望收入的效用，或者两者相等时，消费者偏爱风险收入所带来的效用，这时消费者成为风险偏好者。风险偏好者的效用曲线形状和风险回避者效用曲线凹凸性相反。

（3）风险中立者亦称风险中性者，一般是消费者在无风险确定收入的效用水平和有风险条件下期望收入效用水平相等时，这时消费者为风险中立者。

3．指出下列期望效用函数所代表的风险偏好类型（风险规避、风险中性还是风险偏爱）：（1）；（2）；（3）；（4）（）。这里代表消费。

答：由于消费者对风险的偏好完全可以由期望效用函数推得，通过直接考察效用函数的二阶导数便可以确定。如果效用函数关于消费量的二阶导数大于0，即，则为风险爱好者的效用函数；等于0，即，则代表风险中立者的效用函数；小于0，即，则代表风险规避者的效用函数。

（1），，代表风险中性偏好；

（2），，代表风险规避偏好；

（3），，代表风险偏爱偏好；

（4），，代表风险规避偏好。

三、计算题

1．假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为，其中表示财富价值。

（1）计算该户居民的效用期望值。

（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？

（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？

（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？

解：（1）该户居民的期望效用为：。

（2），故该户居民是风险规避者。

（3）缴纳保险费后，居民的财富确定地为：。不缴纳保险费，居民的预期效用为11.46。

故居民最多愿意支付5434元。

（4）公平的保险费为：（万元），故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是（元）。

2．某消费者的效用函数为，其中为效用，为收益（千元）。他有1万元钱，如果存在银行里，年利率为2%；如果全部投资于股票，估计一年中有40%的概率获得8000元的投资收益，60%的概率损失5000元。

（1）该消费者是风险爱好者、风险厌恶者还是风险中性者？

（2）他是否会选择投资股票？

（3）如果投资股票，他的效用是多少？

解：（1）本题中，如果把1万元都投资于股票，那么：

期望效用为：；

确定性收入200元的效用为：。

对于该消费者来说，，所以他是风险偏好型的。

（2）该消费者选择投资于股票还是存银行取决于哪种投资渠道带来的效用更大。如果把1万元存银行，得到（元），此时效用为，如果把1万块都投资于股票，由（1）知期望效用为，因此该消费者会选择投资股票。

（3）该消费者投资于股票的期望效用为41.1。

3．一个消费者具有预期效用函数。他可参与一次赌博，可以概率得到财富，以概率得到财富。他现在需要多少财富使其保持现有财富水平与接受赌博恰好是无差异的？

解：保持现有财富与接受赌博无差异时，有：

解得：。

所以，他现在需要财富才能使其保持不现有财富水平与接收赌博恰好是无差异的。

4．某人的效用函数形式为。他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的0.9倍，50%的可能获得彩票款的1.4倍。请问：他该将多少钱存银行？多少钱买彩票？

解：假设此人将其所拥有的1000元中的用于购买彩票，这时有两种可能：

获得元，其概率为0.5；获得元，其概率为0.5。

他将剩余的（）元存入银行。对于这（）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有

元。

综上所述，此人的期望效用为：

期望效用最大化的一阶条件为：

解得。

所以，此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.7元用于购买彩票，将剩余的83.3元用于银行存款。

5．消费者具有效用函数，，，要求：

（1）为了最大化个人效用，消费者会把收入的多少用于的消费和的消费？

（2）什么时候消费者是风险规避的？

解：（1）构造拉格朗日函数：

拉格朗日函数极值的必要条件为：

   ①

   ②

　  　 ③

联立方程①、②可得：

　 　 ④

将④式代入③式，有：，。

因此消费者会把收入的用于的消费，用于的消费。

（2）利用海塞矩阵判别。当半负定，即时，效用函数为凹函数。

即：，，

由，得三个不等式的解分别为：，，。

故当，，时，效用函数为凹函数，因此消费者是风险规避的。

6．假定某人效用函数为：。他面临这样一种不确定性，未来收入有1/3的可能是25元，有2/3的可能是81元。要求计算：

（1）多少元的稳定收入会使他觉得境况与不确定情况下一样好？

（2）这一不确定性的风险溢价是多少？

（3）如果有一保险合同使他无论何种情况发生都能够得到81元的收入，他最多愿意花多少钱来购买这份合同？

解：（1）消费者的预期效用为：。

为了获得这样的效用，消费者需要无风险收入（元）。

（2）风险溢价等于不确定情况下收入的期望值减去能够使其获得不确定情况下预期效用的稳定收入值，因此，风险溢价为：（元）。

（3）设他最多愿意花元购买保险合同，则购买保险后的确定性收入带来的效用不应低于无风险收入带来的效用，故他最多愿意花（元）。

7．抛一枚硬币，正面向上的概率为，你参与一次打赌，如果抛第枚时正面向上，你将得到美元。

（1）当时，此次打赌的预期值为多少？

（2）假设你的预期效用函数为，描述这次博弈的效用之和。

（3）求效用和的值。

解：（1）在第次抛掷时才第一次出现正面的概率为。

因此，当时，赌注的期望值为：

（2）期望效用为：

（3）先求无穷级数。

令 ①

则  ②

①－②可得：

从而，所以。

8．设效用函数为。如果，当对不同的收入水平提供赌局时，这个人将会是风险偏好、风险中性还是风险厌恶？

解：令消费者的收入为，则该消费者效用最大化问题可以表述为：

构造拉格朗日函数：

通过对该最优化问题的求解，可以得到：，。

因而间接效用函数就成为如下的形式：。

则：，。

由于，效用函数为凹函数，因此，这个人表现出风险厌恶的特性。