四、计算题

1某消费者的效用函数为，和分别代表在她的花园中玫瑰和菊花的数量，她有250平方英尺可以用来种植这两种花，每株玫瑰占用4平方英尺而菊花占用1平方英尺，如果她获得了另外100平方英尺的土地，效用函数不变的情况下，她将多种植多少菊花和玫瑰？

解：原来的预算约束条件可写为：。将其代入效用函数中可得：

　　　　　　　　　　　　  ①

①式对求一阶导数并令其为零，有：，解得，代入预算约束条件得。

获得了另外的土地后的预算约束条件可写为：。将其代入效用函数中可得：

  　　　　　　　　　　　　　   ②

②两式对求一阶导数并令其为零，有：，解得，代入预算约束条件得

。

因此效用最大化下种植的玫瑰数量不变，消费者应该多种植100单位菊花。

2某消费者的收入为，考虑其只消费商品1和商品2，两种商品对该消费者是完全替代品，且他愿以单位商品1交换单位商品2。商品1的市场价格为，商品2的市场价格为，两种消费数量分别为和表示。政府对商品1的消费量小于配给量时不征税，超过配给量时，对消费者征收税率为的从价税。

（1）写出该消费者的预算约束方程，并画图表示。

（2）写出该消费者消费商品1和商品2的效用函数，并画出无差异曲线。

（3）求该消费者对商品1的需求函数。

解：（1）预算约束方程为：

预算线如图6-1所示。

图6-1  预算线

（2）消费者的效用函数为：。无差异曲线如图6-2所示。

图6-2  无差异曲线

（3）该消费者对商品1的需求函数为：

3小王的效用函数为，已知他的收入为，，。

（1）写出小王对和的需求函数。

（2）如果，，他的需求是多少？如果，，他的需求是多少？

（3）小王的福利因的上涨上升了还是下降了？为什么？

解：（1）由无差异曲线，即，故无差异曲线是凹的，所以最优化问题的解是角点解。

由已知可得预算线方程是，从而，代入效用函数可得：

令上式为，要求在时的极大值，应在断点处取：

，

当，即时，在取极大值，此时；

当，即时，在取极大值，此时；

当，即时，在两种情况下取极大值：

①，，；

②，，。

（2）如果，，，此时，，。

如果，，，此时，，。

（3）小王的福利因的上涨下降了。由（2）可知，当时，小王的效用为；当价格上涨到时，小王的效用为，故可知小王的福利因的上涨下降。

4消费者对（）的效用函数是拟线性的效用函数。的价格为1，的价格为，消费者的收入是。求：

（1）求，的需求函数（注意分情况讨论，比如角点和内部解）。

（2）设，此时收入变化是否影响对和的消费？

（3）设，从1变到2，计算该消费者从消费这种商品获得的消费者剩余的变化。

解：（1）消费者的效用最大化可写为：

当，，；

当时，，。

（2）当，如果，，。

收入变化对的消费有正的影响，对的消费没有影响。

如果，则：

，

即，收入变化对的消费没有影响，对的消费有正的影响。

（3）无论或者2，都有：

消费者剩余变化为：

5某消费者的偏好由以下效用函数描述：，其中是的自然对数。商品1和商品2的价格分别为和，消费者的收入为。

（1）写出消费者的最大化问题；

（2）求出需求函数和；

（3）设价格，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）；

（4）设，，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）；

（5）判断商品1和商品2是正常品还是低档品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。

解：（1）消费者的最大化问题是指消费在收入约束下效用的最大化。即：

（2）构造拉格朗日函数：

效用最大化的一阶条件为：

解得需求函数分别为：

，

（3）当价格时，。两种商品与价格相对应的恩格尔曲线如图6-3所示。

图6-3  两种商品与价格相对应的恩格尔曲线

（4）当，时，，商品1的需求曲线如图6-4所示。

图6-4  商品1的需求曲线

（5）由，，商品1和商品2都是正常品、普通品，因为它们的需求量都随收入增加，随价格降低；商品1和商品2既不是替代品，也不是互补品，因为商品1的需求量与商品2的价格无关，而商品2的需求量也与商品1的价格无关。