10 优雅的数

在对看不见的世界进行探索的过程中，方程式是一个关键的资源。它能将这个世界各个单独的事物互相联系在一起，并且为这些事物的表现提供新的见解——就像我们从波动方程那里得到了许多信息一样。事实上，没有其他地方比我们正行驶的道路更能体现方程式的有用了。因为麦克斯韦方程组是非常强力的新资源，所以它们值得被更深层次地探讨，以寻求它们所具有的更深层次的内涵。

麦克斯韦方程组适用于三维世界，它将指向不同方向的场联系在一起。举个例子，南北方向的电场的大小取决于东西方向的磁场大小。麦克斯韦将每一个向量的组成部分、每个方向在20个单独的方程式里都罗列了出来。或许这也是为什么开尔文勋爵花了好一段时间才看完麦克斯韦的论文。

相比于20个单独的方程式，麦克斯韦方程组还有一种更为优雅的表达了相同信息的写法，这种写法同时揭露了它的一些重要特性，而这些特性将会成为我们在物理世界中不可或缺的导航工具。如果我们采用数学概念中的向量的话，麦克斯韦方程组可以被写成短短的四行。

数值是基本的数学概念，它能被用来描述物体的尺寸、某种属性等。比如，我们旅行中乘坐的车的重量，还有它在努力爬坡时引擎的温度，都是数值。而像一支箭那样同时含有大小和方向的物体，我们可以用另一种数学概念——向量来描述。举例来说，速度是向量，要想说明我们汽车的行进状况，我们不用说它在南北方向和东西方向分别行进得有多快，而仅仅提供一个向量就可以。该向量的大小为汽车的速率，指向角度为汽车的方向。同理，电场也同时有大小和方向，也能用向量来描述。

除了省墨水外，向量形式的麦克斯韦方程组明显地展现了它内涵的某种对称性：像圆球似的，从任何角度看都一样。假如我把公式中向量的方向旋转一下，把北变成东或者西南，或者任意方向，只要我把所有的方向、坐标轴一同旋转，那么就不会有什么改变发生，方程组仍然成立。物理学家或数学家称这个方程组在旋转的条件下具有“不变性”。即使我们变换方向行驶，从往东开换成往北开，麦克斯韦方程组仍保持不变。

寻找类似的不变性和对称性，能帮助我们在“看不见的地图”上找到合适的行进路线，它是最为可靠的指导方法之一。除了旋转不变性外，麦克斯韦方程组中还隐藏了另一种不变性，即如果速率改变，方程组仍保持不变。虽然速率不变性体现得没有旋转不变性那么明显，但我们也可以从关联了移动中电荷（电流）和其产生的磁场的方程式中看出端倪。如果我改变自身的移动速率，那我便会改变电流相对于我的表观速度，我甚至能加速至电流速率，和它齐头并进。这样从我的角度来看，电流便不存在了！那么，在这种情况下，麦克斯韦方程组会给我们描述一个怎样的磁场呢？

因为在我们不断扩展的地图上，相连的道路代表了电磁力，所以让我们用道路和车流的概念来进行一次测试或一次思想实验。假设，有一连串的汽车以50千米/小时的速率从我们身边经过，每辆车携带着一大盒电子，也就是说它们均携带了负电荷。车流可以被视作一道电流，而麦克斯韦方程组告诉我们，我们会感受到电流产生的磁场，还有电荷产生的电场。事实上我们也确实会看到这两种力场的存在，并且能够测量其具体强弱、大小。

现在，想象我们也将自身速率加速至50千米/小时，且行进方向与车流方向相同。我们现在便在和它们一起运动。因为，相对于我们而言，它们是静止的，所以在我们的视角下，不会再有电流，也不会再存在磁场。

仅仅因为我们的速率增加了，物理事实就改变了吗？从某个路边行人的角度来看，电流仍然存在，所以依据麦克斯韦方程组，什么都没有改变——磁场仍然存在。所以我们各自需要不同版本的麦克斯韦方程组吗？那么，假如有以其他速度行进的第三个人，比如以50千米/小时的速率往反方向行进，他看到一道更强的电流吗？

答案是，我们仍使用相同版本的麦克斯韦方程组。最初的形式仍然管用，因为它在观测者的速率的改变下保持不变。确实，对于我们来说，因为电流消失了，所以磁场会消失。但是由于电场会产生微妙的变化以补偿消失的磁场，所以最后所有电荷的运动和力的关系仍保持一致。这看上去几乎是一个奇迹，但却是被麦克斯韦方程组完全限定好的。因此，电场和磁场被称作具有“协变”关系——它们会以一种保持麦克斯韦方程组形式不变的方式一起变化。而对我们来说，无论我们和其他观测者的相对运动速率差有多大，所有人只需要一个版本的物理法则就够了。

麦克斯韦方程组的速率不变性有非常深远的影响。还记得吗，麦克斯韦方程组可以被用来算出电磁波的波动方程，以及光的速度。无论我们作为观测者的运动速度有多快，如果麦克斯韦方程组都是一样的话，那么光的速度也是一样的。光速具有不变性。

光速对于任何人、在任何时候都是一样的，无论他们自身的速率是多少。这是奠定了爱因斯坦相对论的一个基本原理。在旅途中，我们将会遇到许多速度极快和能量极高的粒子。要想正确描述它们的运动状态，我们必须使用相对论。相对论还将能量（E）和质量（m）通过有名的等式E=mc2联系在一起，其中c便是光速——最初我们从麦克斯韦方程组中得出的波的速度。

作为一组19世纪的方程，麦克斯韦方程组真的告诉了我们许多信息。它主宰的电磁力将电子束缚在原子核，将原子之地各个分散的部分连接在一起。所有带电的粒子除了互相吸引或排斥外，都能将光子来回传递，这种传递组成了连接众多知识岛屿的重要公路网络。此外，方程式还向我们展示了一个装着基本原则和重要概念的工具箱，比如不变性和相对性，帮助我们进行进一步的探索。