序言

马克思不仅精通数学，而且很重视经济学中的数学应用，在《资本论》的写作中也使用了一定的数学方法。当前，应该加强马克思主义经济学科中的数学建设。本书将对此给予说明，并且讨论经济学中使用数学方法的具体作用，加强马克思主义经济学科中的数学建设的内容，以及经济学中使用数学方法应注意的一些原则和问题。

一、马克思重视在经济学中使用数学方法

马克思非常重视在经济学中使用数学方法。马克思曾说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”马克思在给恩格斯的信中说：“我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学方式从中得出危机的主要规律（而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的）。”

在《资本论》的写作过程中，马克思同样使用了数学方法。在《资本论》体系中，概念运动的每一步都伴随着对有关数量关系的论证。例如，在《资本论》中，研究剩余价值率时，马克思指出：“为此，这里要运用数学上的一条定律，就是数学上运算变量和常量的定律，即运算常量同变量相加减的定律。”在马克思的手稿中，对剩余价值率的推导，使用的就是微分学的方法（微分学在当时是最先进的数学方法），马克思写道：“从严谨的数学的角度来看，这里阐述的观点也是正确的。因而，用微分计算，假设y＝f（x）+C，其中C是不变量。x变为x+Δx，不会改变C的值。因为不变量不发生变化，所以ΔC＝0。可见，不变量的微分是0。”马克思由此说明了资本的“真实增殖率”就是剩余价值率，也就是资本家对工人的剥削率，并进一步科学地揭示了资本主义的剥削本质和积累趋势。

不仅如此，马克思还对数学进行了专门研究。马克思对当时刚刚出现的微分学进行了专门研究，著有《数学笔记》。这本书深刻地揭示了微分学的哲学意义，至今仍具有重要的学术价值和理论意义。恩格斯指出：“马克思是精通数学的。”

有些学者认为，数学不是政治经济学的工具，运用数学无法解决政治经济学的问题；还有些学者认为马克思经济学排斥数学方法。实际上，这些观点都是误解。

二、数学在经济学中的具体作用

人类对数量关系的研究，从古代就开始了。数学是对数量关系研究的专门科学，源于人们的生产和生活实践。随着社会实践的发展，人类对数量关系的认识越来越广泛，越来越深入。通过运用数学方法，人们可以对事物的数量关系进行分析，并为认识事物本质打下必要的基础。人类的经济活动，存在着普遍而复杂的数量关系。也正是从这种意义上讲，数学不仅是从事经济活动的必要工具，也是进行经济科学研究必不可少的方法之一。

第一，可以通过对经济中量的关系的讨论，达到认识经济规律的目的。

例如，前面所提到的马克思不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学方式从中得出危机的主要规律。马克思曾指出，固定资本的更新是资本主义经济周期的物质基础。实际上，用马克思的这个方法（差分方程）确实可以得出资本主义经济运行的周期性规律。

再如，马克思在《资本论》第三卷中研究利润率和剩余价值率的关系时，曾指出：“当利润和剩余价值在数量上被看作相等时，利润的大小和利润率的大小，就由在每个场合已定或可定的单纯的数量关系来决定。因此，首先要在纯粹数学的范围内进行研究。”马克思确定了利润率公式

由此推得

并且“由此推出利润率的各种规律”。

第二，数学方法有助于使复杂问题简单化，使问题简单明了。

例如，关于价值与价格运动趋势的关系。按照马克思劳动价值理论：（1）价格由价值决定；（2）随着劳动生产率的提高，商品的价值量将降低；（3）在历史的发展过程中，劳动生产率是不断提高的。直接看，似乎可以得出结论，随着历史的发展，商品的价格将降低。但是，我们看到的事实却是：在历史的发展过程中，在一般情况中，商品的价格在不断提高。这被有些学者称为“一个谜”。但是，如果使用简单的分数，那么这个“谜”就会成为一个很简单明了的问题。商品的价格可以用分数表达为

从这个简单的公式可以看到，当货币的价值比商品的价值下降得更快时，商品的价格将提高。而在历史的发展过程中，货币的价值确实比商品的价值下降得更快，因此，在商品价值降低的同时，商品的价格会提高。一个简单的数学公式，可以使“一个谜”变得像水一样清澈透明。

第三，可以解决一些用语言文字无法解决的经济学问题。

在经济学的研究过程中，会涉及一些问题，这些问题用语言文字无法解决，只能用数学方法解决。例如，著名的“价值转形问题”。“价值转形问题”实质上是生产价格精确值的计算问题，在这个计算中必须用到高等代数和矩阵理论，“佛罗比纽斯定律”是解决这个问题的必要知识。如果不使用数学方法，那么就不可能计算出生产价格的精确值，就不可能解决“价值转形问题”。

总之，数学方法能使我们比较精确地研究问题，同时又能使问题简单明了，一目了然。不仅如此，我们还能通过使用数学方法对经济过程中的数量关系作精确分析，更深刻地了解经济过程中的规律性，了解质的规律性。

三、加强马克思主义经济学科中的数学建设

在马克思写作《资本论》的时期，在经济学中使用数学方法还不普遍，使用高等数学方法更是凤毛麟角，马克思走在了时代的前列。在21世纪的今天，数学自身有了巨大的发展，数学的应用也非常广泛。因此，我们应该加强马克思主义经济学科中的数学建设。

首先，建立马克思主义经济学模型，把马克思经济学中量的关系用数学模型表述出来，在此模型基础上说明现实经济现象，提出相应的对策。这样可以使复杂问题简单化、清晰化，对在马克思主义经济理论基础上解决经济现实问题，具有重要的现实意义。

例如，依据马克思的论述建立价格总水平模型。马克思在劳动价值理论的基础之上揭示的金属货币的流通规律，可以用公式表示为

其中，G表示流通中所需金属货币量，W表示社会价值总量，wg表示单位金属货币的价值量，n表示同名货币的流通速度。马克思揭示的纸币的流通规律，可以用公式表示为

Gwg＝Mwm

其中，wm是单位纸币所代表的价值量，M是流通中的纸币总量。在此基础上，分析商品价格、商品数量、流通中的货币量和货币流通速度这几个变量之间的相互关系，可以构建以劳动价值论为基础的纸币价格总水平Pms模型

Pms＝nM

和价格指数模型

其中，pi是第i种商品的价格，qi是第i种商品的数量，0和t分别表示第0期和第t期。这个模型就是马克思价格总水平模型。在此基础上，可以对现实价格总水平的变化进行分析，并提出相应的对策。

其次，目前，西方经济学中普遍使用数学方法，有些西方经济学家认为，马克思主义经济学是排斥数学方法的，是不能用数学的方法表达的；还有些西方经济学家使用数学方法来责难马克思主义经济理论。建立马克思主义经济学的数学模型，有利于回答西方经济学对马克思主义经济学的挑战，有利于有力地反驳西方经济学对马克思经济学的责难。例如，在“价值转化形式”、“有固定资本时价值量的计算”、“联合产品价值量的计算”等问题上，有些西方经济学者用数学方法从内在逻辑的统一性方面否定马克思劳动价值理论，进而否定整个马克思主义经济理论。如果我们能在正确理解马克思经济理论的基础上，使用数学方法建立相关的马克思经济理论模型，那么就能有效地说明这些西方经济学者对劳动价值理论的否定是不能成立的。

上述工作可以在两方面进行。一方面，由于受客观条件的限制，马克思没有来得及深入地将经济学理论数学化，我们可以完成马克思没有完成的这些工作，建立系统、全面的马克思主义经济学的数学体系，完善和发展马克思主义经济学。另一方面，现时期，数学有了不少新的发展，取得了不少新的成果，这些发展和成果，在马克思时代还没有产生，我们可以使用这些数学的新发展和新成果解决马克思时代所无法解决的问题。

建立马克思主义经济学的数学模型，是一个系统的工程，需要相当长的时间来完成。西方经济学完成在文字表达基础上建立系统的数学表达的过程，用了近100年的时间。在现有的学科条件下，完成马克思经济学的数学表达也许至少要用十几年的时间。

加强马克思主义经济学科中的数学建设可以分阶段、分步骤地进行。第一步，组织队伍。首先要建设一支由具有扎实马克思经济基本理论和一定数学功底的有志于从事这项事业的学者组成的研究队伍。这是这项工作的组织基础，只有拥有一支有力的队伍，才能保证这项工作的顺利进行。第二步，选择研究专题。首先要从马克思主义经济学中选出15—20个专题，这些专题应该是马克思经济学中的主干性专题，是具有典型性的问题。这个选题过程，实际上是进一步认识马克思经济学理论体系的过程。通过对专题的选择，可以深化对马克思经济学的总体性认识。第三步，准确掌握马克思的原意。针对每一个选题，查阅相关的马克思的资料，认真研读原著，将这些专题中的马克思的意思弄明白，真正了解马克思想要表达的确切思想。只有这样，才能达到用数学方法解释马克思经济学的目的，否则就很难用数学方法准确解释或表达马克思的观点，甚至会歪曲马克思经济学的原意。所以，在对马克思经济学进行数学解释之前，必须对马克思经济学有深刻、准确的认识。在完成这个阶段的工作之后，我们才能真正进入运用数学方法的阶段。第四步，充分了解国内外学术界在马克思主义经济学数学建设方面的已有成果。目前，在马克思主义经济学数学建设方面，国内外都有一些学者作出了贡献。例如，日本学者森岛通夫的著作《马克思的经济学》和《价值、剥削与增长》就是典型的代表作。我们应该了解这些成果，并给予充分的重视，借鉴并吸收其中确实准确地表述了马克思经济理论的优秀成果。但是，需要注意的是，国外一些学者由于受到西方经济学的熏陶，对马克思经济理论的数学表达，往往带有新古典学派传统的痕迹。对于这样的成果不能直接搬来使用。第五步，根据马克思经济学的基本观点，建立表达马克思原意的数学模型。建立数学模型先从简单、初步的模型入手，但一定要保证模型的准确性，要建立能准确、恰当地表达马克思经济学原意的数学模型。建立马克思经济理论的数学模型一定要“从马克思出发”。在保证模型的准确性的基础上，逐步完善马克思经济学的数学模型。第六步，经过至少十几年的时间，通过几批人的努力，争取建立一个系统、全面、准确的马克思经济学的数学体系。在这个过程中，要针对不同的专题，不断丰富和发展模型，对数学模型进行修正和完善。总之，这项工作是一项长期的、系统的工作，要完成它，必须按照既有步骤，扎扎实实地一步一步地进行。

四、在经济学中使用数学方法应注意的问题

加强马克思主义经济学科中的数学建设，并非数学方法运用得越多越好、越复杂越好。在经济学中使用数学方法需要注意以下几个问题。

第一，要真正弄清楚什么是马克思主义经济学，马克思主义经济学真实的内容是什么，在这个基础上建立真正表达马克思原意的数学模型。这是在使用数学方法对马克思主义经济学进行研究前必须搞清楚的，是前提性的工作。只有这样，才能按照马克思的观点来认识经济问题，分析经济矛盾，才能说是在进行马克思主义经济学研究。脱离了马克思主义的基本观点，或歪曲马克思主义经济学的基本理论，就不是在进行马克思主义经济学研究，建立的数学模型就不是马克思经济理论模型。

第二，在经济学中使用数学方法，要坚持“解决同样问题，方法越简单越好”的原则。数学在经济学研究中是一种工具和方法，是为研究经济问题服务的。使用数学方法，应该使对问题的认识和分析过程简单化，而不是使问题复杂化。在能解决同样的经济问题的前提下，越简单的数学方法，越是好方法。如果对可以用简单方法解决的问题使用过于复杂的数学方法，那么就不仅不能达到简化研究过程的目的，有时反而会使对经济问题的认识走入误区，甚至得出错误的结论。因此，我们在使用数学方法时要尽量选择简单的方法。

第三，对不同的经济问题要使用不同的数学方法。在经济学研究的过程中会遇到不同的经济问题，这些经济问题的性质和特点是各不相同的，所以，要针对不同的经济问题，使用不同的数学方法。没有通用于所有经济问题的“万能”方法，同样也没有“万能”的数学方法。切忌在经济问题的研究过程中机械性地使用同一方法，例如，现在经济学界有人喜欢使用高等代数的方法来认识和解决经济问题，不论什么样的经济问题，通通使用高等代数的方法，这是不恰当的；有人喜欢使用微分学的方法来认识和解决经济问题，不论什么样的经济问题，通通使用微分学的方法，这也是不恰当的。针对不同的问题应该使用不同的数学方法，不要千篇一律地、形式主义地用同一种方法去表述和解决各种不同的问题。

第四，不要将数学方法作为一种包装。数学在经济学研究过程中只是一种方法、一种工具，对数学方法的运用是为了解决问题，千万不要把数学方法变成包装，变成一种纯粹的数学游戏。如果仅仅将在经济学中使用数学方法看作一种潮流，看作评价经济学水平高低的唯一标志，在研究过程中，为了用数学而用数学，反而忘记了对经济问题自身的研究，那么这时数学就不再是经济学研究的工具和方法，而是变成了包装，这将不利于经济学的发展。

在马克思主义经济学科的建设中，加强数学方法的建设，既有利于在马克思主义经济理论基础上解决现实经济问题，也有利于回答西方经济学对马克思主义经济学的挑战，有力地反驳西方经济学对马克思经济学的责难。