第四节　高阶导数

如果函数y=f（x）的导数f'（x）仍然是x的可导函数，则称f'（x）的导数叫做函数f（x）的二阶导数，记作y″、f″（x）或.即

类似地，f″（x）的导数称为把f（x）的三阶导数，记作y‴、f‴（x）或.

以此类推，函数y=f（x）的n-1阶导数的导数，称为函数f（x）的n阶导数，记作

二阶及二阶以上的各阶导数统称高阶导数.求高阶导数时，只要利用导数的基本公式及运算法则对函数一次次求导即可，计算中注意归纳整理.

【例1】 设f（x）=（1+2x）3，求f″（1）.

解：

所以f″（1）=72

【例2】　设y=lnx，求y（n）.

解：

…

【例3】 求函数y=ex的n阶导数.

解：y'=ex，y″=ex，y‴=ex，y（4）=ex，

一般地，可得

即

【例4】　求正弦函数与余弦函数的n阶导数.

解：y=sinx，

一般地，可得

，即

用类似方法，可得

习题2.4

1.求下列函数的二阶导数.

（1）y=4x2+lnx

（2）y=cosx+sinx

（3）y=e-xcosx

（4）y=e2x-1

（5）y=e2xsin（2x+1）

（6）y=xarctanx

2.求下列函数的n阶导数.

（1）y=cosx

（2）

（3）y=eax

（4）y=xex

3.验证函数y=exsinx满足关系式：y″-2y'+2y=0.