任务1 矩阵及其运算

一、任务导入

在模块一中，讨论机器人系统的基本组成时曾提出，机械手是机器人系统的机械运动部分。作为自动化工具的机械手，它需要一种用于描述单一刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又便捷的数学方法。能够达到这个要求的方法很多，本书将采用矩阵法来描述机器人机械手的运动学和动力学问题，能够将运动、变换和映射与矩阵运算结合起来。

二、矩阵的基本理论

在描述工业机器人位姿及其关系时，利用矩阵表达式远比其他形式简洁直观，而且矩阵运算的规范性更适用于计算机编程。所以本书中的许多关系式将采用矩阵式表达，本任务对有关矩阵的一些概念作简要的介绍，并对一些符号进行统一的规范。

1.矩阵的定义

矩阵不仅可以用来表示点、向量、坐标系、平移、旋转及变换，还可以表示坐标系中的物体和其他运动部件。工业机器人的许多概念与表达式涉及几何向量，特别是矩阵及其运算。工业机器人通常是一个非常复杂的系统，为准确、清楚地描述工业机器人位姿关系、运动学和动力学方程，需要通过矩阵及其运算、坐标系与向量、坐标变换、矩阵微分等数学理论基础来计算或描述。

将m×n个标量Aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排列成如下的m行、n列的形式，将其定义为m×n阶（维）矩阵，用一个黑斜体的大写字母来表示，即

　　（2-1）

在式（2-1）中，Aij为矩阵中A的第i行、第j列元素，且Aij可以为实数、复数。

将矩阵中A的第i行变为第j列，可得到m×n阶新矩阵，称其为原矩阵A的转置矩阵，记为AT。例如3×5阶矩阵

该矩阵的转置矩阵为5×3阶矩阵，即

例2-1 已知，求AT。

解：原矩阵为一个2×4的矩阵，则其转置矩阵应该是一个4×2的矩阵。

所有元素都为零的矩阵为零矩阵，记为0，但不同阶数的零矩阵是不相等的。行数与列数均相等的矩阵称为n阶方阵。

如果对于n阶方阵A，其元素满足Aij=Aji（i，j=1，…，n），即

A=AT

则称方阵A为对称矩阵。

如果Aij=-Aji（i，j=1，…，n），即

A=-AT

则称方阵A为反对称矩阵。显然，反对称矩阵中最特别的是

Aij=0（i，j=1，…，n）

除对角元素（至少有一为非零）外，所有元素均为零的方阵称为对角阵，n阶对角阵可写成：

　　（2-2）

对角元素均为1的n阶对角阵称为n阶单位阵，记为In或简写为I。对角阵的对角元素的和称为该矩阵的迹，记为：

　　（2-3）

将矩阵的定义加以推广，矩阵A的元素可以不是标量Aij而是矩阵Aij，即

　　（2-4）

式中，第i行（i=1，2，…，m）各矩阵元素Ai1，Ai2，…，Ain的行阶相等；第j列（j=1，2，…，m）各矩阵元素A1j，A2j，…，Amj的列阶相等，称矩阵元素Aij为矩阵A的分块阵。

如3×5矩阵

可由四个分块阵表示，可以分为四个矩阵元素：

其中

，，，

行数与列数均分别相等的两个或多个矩阵，称为同型矩阵。

2.其他矩阵

方阵是十分重要的一类矩阵。由n阶方阵A的元素按原相对位置不变所构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或detA。

设A为n阶方阵，如果，则称A为非奇异矩阵；如果，则称为奇异矩阵。设A为n阶方阵，由的各个元素的代数余子式所构成的方阵A的伴随阵A*，它有以下性质：

　　（2-5）

在矩阵的运算中，单位阵I相当于数的乘法运算中的1。对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1，满足式（2-6），则矩阵A-1称为A的可逆矩阵或逆阵。

AA-1=A-1A=I（2-6）

当方阵时，有

　　（2-7）

对于非奇异矩阵存在一个逆矩阵，记为A-1，使得

AA-1=A-1A=I（2-8）

可证明以下等式成立：

　　（2-9）

　　（2-10）

满足如下等式的非奇异矩阵A称为正交阵

　　（2-11）

对于正交阵有

　　（2-12）

三、矩阵的运算

1.矩阵的相等

两个同阶的矩阵A与B中如果所有的下标i与j的元素相等，即有Aij=Bij（i=1，…，m；j=1，…，n），则称这两个矩阵相等，记为

A=B（2-13）

2.矩阵的数乘

一个标量a与一矩阵A的乘积为一同阶的新矩阵C，记为

C=aA（2-14）

其中，各元素的关系是

Cij=aAij（i=1，…，m；j=1，…，n）（2-15）

3.矩阵的相加减

同阶矩阵A与B的和为一同阶的新矩阵C，记为

C=A+B（2-16）

其中，各元素的关系是

Cij=Aij+Bij（i=1，…，m；j=1，…，n）（2-17）

不难验证，同阶矩阵的和运算遵循结合律与交换律，即

　　（2-18）

A+B=B+A（2-19）

且有

　　（2-20）

例2-2 若，，试求矩阵A和B的和。

解：设矩阵C为矩阵A和B的和，即C=A+B，根据式（2-17）矩阵C中的各元素应该为：

Cij=Aij+Bij（i=1，…，m；j=1，…，n）

故：

4.矩阵的相乘

设是一个m×s阶矩阵，是一个s×n阶矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n阶矩阵，其中

　　（2-21）

并把此乘积记作

C=AB（2-22）

注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

一般来说，矩阵乘积不遵循交换律，即。但遵循分配率与结合律，即有

　　（2-23）

　　（2-24）

且有

　　（2-25）

例2-3 若，，试求矩阵AB。

解：设矩阵C为矩阵A和B的乘积，即C=AB，

根据式（2-21）可知，矩阵C中的各元素应该为：

故：

例2-4 若，，试求矩阵AB和BA。

解：设矩阵C=AB，矩阵D=BA

根据式（2-21），矩阵C中的各元素应该为：

故：

（1）

（2）

由此可知，矩阵乘积不遵循交换律，即。

5.矩阵的线性相关性

对于n个m阶列阵，如果存在n个不同时为零的常数，使得下式成立，则称这n个列阵线性相关。

　　（2-26）

如果，只有时，上式才成立，则称这n个m阶列阵线性无关。将上述定义加以推广，考虑m×n阶矩阵A，如果存在一常值列阵，使得下式成立，则称矩阵A的各列阵线性相关。

　　（2-27）

否则，矩阵A的各列阵线性无关。如果，存在一常值列阵，满足下式，也称矩阵A的各行阵线性相关

ATl=0（2-28）

否则，矩阵A的各行阵线性无关。

6.矩阵求秩

“秩”指的是一矩阵最大的线性无关的列（行）阵的个数，分为行秩和列秩。可以证明，任何矩阵的行秩和列秩是相等的，故行秩或列秩又称为该矩阵的秩。通常秩小于或等于该矩阵的行阶或列阶中的小者。若一个矩阵的秩与行阶或是列阶相等，则称该矩阵为行满秩或列满秩。各行阵或列阵线性无关的方阵称为满秩方阵。不满秩的方阵又称为奇异阵。

7.矩阵求导

矩阵的元素如果为时间t的函数，记为Aij（t），该矩阵记为A（t），它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素Aij（t）对时间的导数，即

　　（2-29）

根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：

　　（2-30）

　　（2-31）

　　（2-32）

式中，a为时间函数的标量；A与B均为时间函数的矩阵，且它们满足矩阵运算的条件。