第二节　点的投影

点是最基本的几何元素，是确定直线和平面的基本要素。要掌握线、面和形体的投影的画法，应首先掌握点的三面投影规律。

一、三投影面体系的建立

如图2-4所示，相互垂直的三个平面组成三投影面体系，他们分别是：

（1）正面投影面——简称正面或V面；

（2）水平投影面——简称水平面或H面；

（3）侧面投影面——简称侧面或W面。

三投影面之间的交线称为投影轴，分别是：

（1）OX轴——V面与H面的交线；

（2）OY轴——H面与W面的交线；

（3）OZ轴——V面与W面的交线。

三投影轴的交点称为原点，一般用字母O表示。

二、点的三面投影

空间点A位于V面、H面和W面构成的三投影面体系中。由点A分别向V、H、W面作正投影，依次得点A的正面投影a'，水平投影a，侧面投影a″，如图2-5所示。

为使三个投影面展到同一平面上，现保持V面不动，使H面绕OX轴向下旋转到与V面“共面”，使W面绕OZ轴向右旋转到与V面“共面”，这样得到点的三面投影图［见图2-5（b）］。在实际画图时，不画出投影面的边框［见图2-5（c）］。在这里值得注意的是：在三面体系展开的过程中，Y轴被一分为二。Y轴一方面随着H面旋转到YH的位置，另一方面又随W面旋转到YW的位置。

三、点的投影规律

分析图2-5（a），以A为顶点的平行六面体的几何关系可以得出，点A的三个投影之间有如下投影规律。

点的投影连线必定垂直于相应的投影轴，即

a'a⊥OX；　a'a″⊥OZ　；　a″a⊥OY。

点的投影到投影轴的距离，等于该空间点到相应投影面的距离，即

a'ax=a″ay=A点到H面的距离Aa；

aax=a″az=A点到V面的距离Aa'；

aay=a'az=A点到W面的距离Aa″。

四、点的三面投影与直线坐标的关系

如图2-6所示，点的投影可以用直角坐标表示，如果将三投影面体系看作是直角坐标系，那么三个投影面就相当于三个坐标面，三个投影轴就相当于三个坐标轴，投影原点就相当于坐标原点，则空间点A到三个坐标面的距离，等于空间点A到三个投影面的距离，也就是点A的三个坐标。

X坐标=点A到W面的距离，即有aza'=aya=a″A=x；

Y坐标=点A到V面的距离，即有axa=aza″=a'A=y；

Z坐标=点A到H面的距离，即有axa'=aya″=aA=z。

由于每个投影可反映点的两个坐标，那么，点的两个投影就可以反映该点的三个坐标。因此，若已知点的两个投影，就可以利用投影规律求出第三个投影。

五、投影面上及投影轴上点的投影

因为每个投影面都可看作坐标面，而每个坐标面都是由两个坐标轴决定的，所以空间点在任一个投影面上的投影，只能反映其两个坐标，即：

V面投影反映点的X、Z坐标；

H面投影反映点的X、Y坐标；

W面投影反映点的Y、Z坐标。

投影面上的点的投影如图2-7和图2-8所示，点A在V面上，点B在H面上。他们反映的共同特点就是有一个坐标值为零，其投影特点为在该投影面上的投影与该点重合，在另外两个面上的投影分别在相应的投影轴上。

投影轴上的点的投影如图2-8所示，点C在X轴上，其特点是两个坐标值为零。其投影特点为在该轴所属的投影面上的投影与该点重合，另外一个面上的投影在原点。

六、两点的相对位置

空间两点的左右、前后和上下位置关系可以用它们的坐标大小来判断。具体关系如下：

X坐标大者为左，反之为右；

Y坐标大者为前，反之为后；

Z坐标大者为上，反之为下。

由此可知图2-9中的点A与点B相比，A在左、前、下的位置，而B则在点A的右、后、上方。

七、重影点的投影

如图2-10所示，A、B两点位于垂直于V面的同一投射线上，这时a'、b'重合，A、B称之为对V面的重影点。同理可知对H面及对W面的重影点。

对V面的一对重影点是正前、正后方的关系；

对H面的一对重影点是正上、正下方的关系；

对W面的一对重影点是正左、正右方的关系。

其可见性的判断依据其坐标值。X坐标值大者遮住X坐标值小者；Y坐标值大者遮住Y坐标值小者；Z坐标值大者遮住Z坐标值小者。被遮的点一般要在同面投影符号上加圆括号，以区别其可见性，如（b'）。