第三节　行列式的性质

前面用对角线法则来计算二、三阶行列式，对于较高阶的行列式（四阶以上）不适用对角线法则.学习了n阶行列式的定义后，从理论上讲可以利用定义来计算任一个n阶行列式.但这种方法在实际操作中有很大的困难.因此需要寻求计算行列式的新方法.首先要学习行列式的有关性质，然后应用相关的性质，简化行列式的计算.

一、行列式的性质

定义1-3-1　将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为DT.

如果 　

则 

性质1　将行列式转置，行列式的值不变，即D=DT.

证　因为在D中第i行第j列的元素aij就是DT中第j行第i列的元素bji，即aij=bji，所以由行列式定义可得

由此性质可知，行列式的行与列的地位是同等的，对行成立的性质，对列也成立.下面行列式的性质都具有这个特点，因此一般仅对行给出证明.

性质2　交换行列式的两行（列）对应元素的位置，行列式的值改变符号.

证　设上式左边行列式为D，右边为D1，且D1的第i行第j列的元素为bij，则D的s行、t行与D1的t行、s行的元素之间有关系：

asj=btj，atj=bsj（j=1，2，…，n）

此外，由aij=bij（i≠s，t；j=1，2，…，n），注意到对换改变排列的奇偶性和行列式的定义，得

例如，，由D交换1，2行，得

推论　如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零.

因为将行列式D中相同的两行交换，得到的D1与D相同，又根据性质2，D=-D1，所以D=0.

性质3　用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式.

推论1　如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面.

推论2　如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零.

性质4　如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和.即若

，则D=D1+D2.

推论3　如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和.

性质5　将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.即

，用k乘D的第s行元素后加到第i行的对应元素上，得

【例1-3-1】　计算行列式.

解：因为第一列与第二列对应元素成比例，根据性质3的推论2，该行列式的值为零.

【例1-3-2】　证明奇数阶反对称行列式的值为零.

反对称行列式为

其特点是元素aij=-aji（i≠j），aii=0（i=j）.

　　证

当n为奇数时，D=-D，即D=0.

【例1-3-3】　设，求.

二、化行列式为上（下）三角形行列式

前面用行列式的定义，计算出三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.学习了行列式的性质之后，可以利用这些性质，把行列式化成三角形行列式进行计算.

先来看一下化为上三角形行列式的步骤：如果第一列第一个元素为0，则把第一行与其他行（或第一列与其他列）交换，使第一列的第一个元素不为0；然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使第一列除第一个元素外其余元素皆为0；用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次做下去，直至将它化为上三角形行列式.该行列式的值等于主对角线上元素的乘积.

【例1-3-4】　计算行列式.

【例1-3-5】　计算n阶行列式.

解：