帕斯卡和费马

帕斯卡和费马于1654年开始的一系列书信往来，似乎标志着概率论这个数学分支第一次开启了实质性研究。本书详细介绍这件事，有三个原因：第一，这是一次史无前例的研究；第二，它告诉我们，借助等可能情况，某些看似复杂的问题有可能被简化为直截了当的计算；第三，它引入了期望值这个重要概念，期望值是概率论这门学科的主要支柱之一。

帕斯卡和费马解决的这些问题，在概念特色上不同于卡尔达诺和伽利略解决的那些问题。帕斯卡和费马对公平性进行了定义，还对期望值进行了重点研究。

其中有两个问题是帕斯卡的赌友梅内骑士（Chevalier de Méré）提出来的。帕斯卡把这两个问题连同他自己的想法，都通过书信告诉了费马。他们俩是通过梅森学院建立联系的，自从梅森（Marin Mersenne）神父于1635年创建了这家学院之后，包括伽利略、笛卡儿（Descartes）和莱布尼茨（Leibniz）在内的杰出数学家、科学家和哲学家都在这里分享过研究成果。

骰子问题：一名玩家需要在8次抛掷骰子的赌局中掷出一个6点。此时，投注金额已经确定，这名玩家已经抛掷了3次，但没有一次是6点。如果从赌注中拿出一定比例的钱给这名玩家，让他放弃第4次的抛掷机会（仅放弃这一次），那么给他多少钱才算公平？

点数问题：两名水平相当的玩家正在进行一场多局赌博。每赢一局就可以得到一点。他们一致同意，第一个达到特定点数的玩家获胜，并赢得全部赌注。在进行了若干轮之后，赌局被打断了。此时，如何分配赌注才算公平合理呢？

这两个问题都是围绕公平性阐述的。但是，概率论中的公平性到底指什么呢？我们将会看到，帕斯卡和费马隐晦地利用期望值的概念回答这个问题。

对赌注为V(x)、结果为x的赌局而言，期望值就是概率的加权平均：

期望值(V)=V(x1) p(x1)+V(x2) p(x2)+…

如果玩家对交易的期望值保持不变，就可以视其为公平交易，比如，抛掷质地均匀的硬币。如果是正面朝上，你赢1，反之，你输1。那么，期望值为(+1)(1/2)+(–1)(1/2)=0。

我们把这个概念应用到骰子问题上。桌上的赌注没有变化，仍然是s。如果该玩家不放弃第4次抛掷的机会，那么他一共还有5次机会。他的期望值为

费马在信中建议玩家拿走1/6的赌注，然后放弃第4次抛掷的机会。在这种情况下，他的期望值是

可以看出，两者相同，因此用1/6的赌注作为玩家放弃第4次抛掷机会的收益是公平的。

点数问题也是一个期望值问题，曾让许多以前的思想家束手无策。1494年，修道士卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）考虑过一个点数问题：在一场只要得到6点即可获胜的赌局中，一名玩家已经得到了5点，另一名玩家得到了3点。也许是受到亚里士多德（Aristotle）的分配正义思想的影响，帕乔利认为按照两个玩家分别赢得的点数之比（5∶3）进行分配是公平的做法。大约50年后，塔尔塔利亚（Tartaglia）提出了反对意见，理由是：根据这条规则，如果游戏在一轮之后停止，那么其中一名玩家就会得到全部赌注。赢得赌局所需的点数越多，这样的结果就越令人难以接受。塔尔塔利亚试图修改帕乔利的规则，以便将这种情况考虑进去，但最后他怀疑这个问题可能根本没有确定的答案。这个问题也让包括卡尔达诺和梅内骑士在内的所有人绞尽脑汁，困惑不已。

这时候，费马提出了一个至关重要的见解。假设两名玩家距离赢得赌局分别还差r点和s点，那么赌局肯定会在r+s–1轮内结束。赌局可能会提前结束，但是由于每轮的胜负率是确定的，所以我们不妨考虑一下所有r+s–1轮投掷的结果。这样一来，整个问题就简化为一个关于等概率情况的问题，通过计数就可以算出概率。

在帕乔利问题中，玩家1有5点，玩家2有3点，只要他们中的任何一个得到6点，赌局就会结束。因此，赌局最多还可以进行3轮，共有8种等概率情况。玩家2只有赢得接下来的3轮，才会获胜，他的期望值是总赌注的1/8，而玩家1的期望值是7/8。因此，公平的方案是按照这两个期望值之比来分配赌注。

通过统计等概率情况计算期望值，可以解决这类问题。但是，等概率情况有时会因为数目过大而难以统计。不妨考虑一下塔尔塔利亚举的例子。赢得6点即可获胜，一名玩家没有得分，另一名已有1点在手。因此，赌局最多还可以进行10轮。把所有1 024种可能的结果全部写出来，是一件单调乏味的事。不过，帕斯卡有一种更好的统计方法。

要统计玩家1获胜的情况，我们可以分别统计他在10轮投掷中赢得6次的情况（10选6），在10轮投掷中赢得7次的情况（10选7）……在10轮投掷中赢得10次的情况（10选10），然后将统计结果相加。如图1–2所示，利用帕斯卡三角形［也叫塔尔塔利亚三角形、奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam）三角形］，我们可以很方便地在第10行找到这些数字。这一行告诉我们，从一组10个对象中选取若干个会有多少种不同的方案。从左至右依次可以看到，选取0个对象有1种选择方案，选取1个对象有10种选择方案，选取2个对象有45种方案，选取3个对象有120种方案，一直到最右端，选取10个对象有1种选择方案。

我们需要求出10轮6赢+10轮7赢+…+10轮10赢的总和。利用帕斯卡三角形的第10行，可以算出

210+120+45+10+1=386

该玩家的最终获胜概率为

（约等于38%）。

因此，公平分配方案是玩家1（之前没有得分）获得赌注的386/1 024，玩家2则获得剩余赌注。

在帕斯卡和费马之后，统计等概率情况和利用组合原理及期望值来计算概率，就成了众所周知的概率测度的基本方法。