注释

§11.1

[11.1]按Eduard和Klein的研究（1989），高斯在1820年前后显然已注意到四元数的乘法律，但他没发表（Gauss，1900）。这一点曾引起Tait（1900）和Knott（1900）的争议。进一步细节见Crowe（1967）。

[11.2]“矢量”这个名称有一系列意义。这里我们不要求它与§10.3里的“矢量场”的微分概念相联系。

§11.2

[11.3]我并不清楚哈密顿本人怀有这种想法到什么程度。在他发现四元数之前，他一直对“时间推移”的代数处理保有浓厚兴趣。这一点可能会影响到他接受四元数的第四维，见Crowe（1967），23～27页。

[11.4]不管怎么说，在全纯类四元数概念及其在物理理论的价值方面毕竟已做了许多工作。见Gürsey （1983）；Adler（1995）。我们或许可将作为求解无质量自由场方程的扭量表达式看作是得到拉普拉斯方程解的适当的全纯函数方法的四维类比。当然这里用的是复分析，不是四元数。有关四元数和八元数的一般性参考文献见Conway and Smith（2003）。

[11.5]见Adams and Atiyah（1966）。

[11.6]见Clifford（1878）。现代文献见Hestenes and Sobczyk（2001）；Lounesto（1999）。

[11.7]见Grassmann（1844，1862）；van der Waerden（1985），191～192页；Crowe（1967），第三章。

§11.3

[11.8]这个词发声类似“spinnor”，不是“spynor”。

[11.9]虽然我不知道是谁第一个建议用这种方法来理解四元数乘法的，但早在1978年赫尔辛基召开的国际数学大会上，J．H．Conway已用这种方法来作私下讨论，见Newman（1942）；Penrose and Rindler（1984），41～46页。

§11.4

[11.10]见Pars（1968）。

§11.5

[11.11]关于用克利福德代数来处理许多物理问题，见Lasenby et al．（2000）及其所附的参考文献。

[11.12]见Cartan（1966）；Brauer and weyl（1935）；Penrose and Rindler（1986），附录；Harvey（1990）；Budinich and Trautman（1988）。

[11.13]一些例子见Lounesto（1999）；Cartan（1966）；Crumeyrolle（1990）；Chevalley（1954）；Kamberov（2002）。

**〔11.1〕假定只有乘法结合律a（bc）=（ab）c成立，从哈密顿的“布鲁厄姆桥方程”出发，直接证明这些关系。

*〔11.2〕求两个一般四元数的和与积，从而说明这些关系式的确成立。

*〔11.3〕检验q－1定义的实际效果。

*〔11.4〕检验该式。

***〔11.5〕在哈密顿当初的构造中，用的是与此“对偶的”球面三角形，其顶点在大圆与转动的三个轴相交的位置上。试给出其作用原理（可以“对偶化”文中给出的幅角），转动的大小由这个对偶三角形的二倍角代表。

***〔11.6〕对于三维欧几里得空间情形，找出这种变换的几何性质，它是两个不相互垂直的平面反射的叠加。

*〔11.7〕证明这一判断。

**〔11.8〕证明该式。提示：考虑（1+1）n的展开。

*〔11.9〕证明该式。

*〔11.10〕对n=2情形写出a∧b的全部展开式，看看它是如何组成的。

*〔11.11〕写出四矢量楔积的显表达式。

**〔11.12〕试证：如果a替代为a加上某个矢量的任意实数倍，则替代后的量与这个矢量的楔积保持不变。

**〔11.13〕证明该式。

*〔11.14〕如果p是奇数，推导P∧P=0。