11.4 转动如何叠加

转角的奇妙特性可用另一种方式展示出来。这是一种三维空间里转动所特有的（固有的，而不是由镜像反射得出的）表现方式，即是说，如果我们把一系列转动合起来，其总的效果可以用对某个转轴的转动来代表。问题是如何用简单的几何方法找到这个等价的转动轴，以及如何确定转过的角度大小。哈密顿找到了一种优美的方法。[10]让我们来看看这种方法是如何工作的，我这里采用的描述与哈密顿当初的描述稍有不同。

回想一下，在合成由简单平动引起的两个不同的平移量时，我们是用标准的三角形法则（等价于平行四边形法则，见图5.1（a））来得到结果。因此，我们可将第一次平动表示为一个矢量（这里指的是一段有向线段，其方向由线段上箭头表示），第二次平动表示为另一个矢量，其末端正好与第一个矢量的前端相接。直接连接第一个矢量的末端和第二个矢量的前端所给出的矢量则代表了这两个平动的叠加，见图11.4（a）。

那么对于转动我们可否提出类似操作？答案是肯定的。现在我们将“矢量”设想为取自球面大圆的定向弧，箭头方向依然代表弧的正方向。（球面上大圆是指球与过球心的平面的截线。）我们可将这段“矢量弧”想象为代表着沿箭头方向的转动，转动轴通过球心且垂直于大圆所在平面。

我们可否按类似于普通平移叠加的“三角形法则”来考虑两个转动的叠加呢？应当说我们的确能够做到这一点，但这里有个“陷阱”，因为“矢量弧”所代表的转动转过的角度必须是弧本身角度的两倍。（为方便起见，我们取一单位长半径的球面，这样，弧所代表的角度简单地说就是沿弧测得的弧长。如果“三角形法则”成立，则转动转过该弧的转角必是这条弧长的两倍。）其道理见图11.4（b）。处于中心的曲线（球面）三角形展示了“三角形法则”，三个外三角形分别由这个中心三角形对三个顶点的相应反射所形成。两个初始转动取为从某个外三角形上某一点到第二个外三角形上相应点再到第三个外三角形的相应点，二者的叠加转动取为从第一个三角形上的该点按平行弧线直接连到第三个外三角形的相应点。我们注意到，每个这样的转动均转过两倍于初始三角形相应弧长的角。***〔11.5〕在§18.4节里，我们将看到相对论物理里充满了各种这类构造（图18.3）。

图11.4 （a）由有向线段表示的欧几里得平面里的平动。双箭头线段表示其他两段线段按三角形法则的叠加。（b）对于三维欧几里得空间里的转动，线段是单位球面上的大圆弧，每段弧代表一个转动（转轴垂直于圆弧所在平面），其转过的角度为这段弧长所代表的角的两倍。为了看清其叠加原理，依次以弧长构成的球面三角形的三个顶点为反射点反射形成三个外三角形。第一次转动取三角形1到三角形2，第二次转动取三角形2到三角形3，两次转动的叠加取为从三角形1到三角形3。（c）作为特例的四元数关系ij=k（以i（－j）=－k形式出现）。每个转动的转角均为π，但由半角π/2来代表。

我们可在上面考虑的具体场合检验这种关系，并用图来示范这种四元数关系ij=k。由i，j和k代表的转动取转过π角。因此，为了描述“三角形法则”，我们使用的弧长正好是这个角的一半，即，图解如图11.4（c）（为清楚起见，图中取的是i（－j）=－k）。我们还可以把关系i2=－1看作是对弧长为π的大圆弧的一种说明：它表示从球面上一点延伸至其对径点（用“－1”表示）。这显然不同于弧长为零或2π的弧，尽管二者都表示回复到原初位置的一种转动。“矢量弧”描述正确表示了“自旋体”的转动。