8.5 黎曼映射定理

但是，涉及全纯变换的众多自由度的判定可通过著名的黎曼映射定理来取得。这个定理是说，如果我们在复平面上有某个由非自交闭环界定的闭区域（见注释8.1），则存在全纯映射将该区域匹配到闭单位圆（见图8.14）。（环的“驯顺性”可以适当放宽，但这些避免不了环带有拐角或其他更糟糕的使环线不可导的形状，例子见图8.14。）我们甚至可以比这走得更远，以相当随意的方式在环上取三个点a，b，c，并认为它们映射到单位圆上的三个点a′，b′，c′（譬如说a′=1，b′=ω，c′=ω2），唯一的限定是点a，b，c绕环的次序必须与a′，b′，c′绕单位圆的次序相同。而且映射必须是唯一确定的。另一种唯一确定映射的方法，是在环上只取一点a，而将另一点j取在环内，然后认为a映射到单位圆上的点a′（譬如说a′=1），j映射到单位圆内的点j′（譬如说j′=0）。

图8.14 黎曼映射定理认为，由简单闭环（不必光滑）界定的复平面上的任何开区域都能够全纯映射到单位圆的内部，边界亦可作相应的映射。

现在，让我们想象着我们是在黎曼球面上而不是在复平面上应用黎曼映射定理。从黎曼球面的观点看，闭环的“内部”与环的“外部”具有相同的地位（如同从另一侧来看球面），因此定理可以平等地应用于环的外部和内部。这样，就存在一种“相反”形式的黎曼映射定理，它是说，复平面上环的外部可以映射到单位圆的外部，其唯一性可通过下述简单要求来保证：环上指定点a映射到单位圆上的指定点a′（譬如说a′=1），而j和j′则为∞所取代。[5]

这种所需的映射经常能够明确地实现，原因是它能够提供物理上感兴趣问题的解，例如对流过翼型物体的气流（在理想情形下，气流是所谓“无粘滞”、“不可压缩”和“非转动”的）的处理。我记得当我还是数学系本科生的时候，我曾对此感到非常惊讶，特别是著名的茹科夫斯基（E. N. Zhoukowski，1847～1921）翼型变换理论，如图8.15所示，它可以通过如下变换明确地给出这是一种关于过点z=－1的圆的变换。这个形状与20世纪30年代的飞机机翼截面形状非常相似，因此机翼附近的（理想）气流可直接从圆截面“翼”的形状得到，而后者又可以从另一种全纯变换来得到。（我曾被告知，飞机机翼之所以如此普遍地采用这种形状，就是因为人们可根据茹科夫斯基变换理论从数学上对它进行研究。我相信这不是真的！）

图8.15 茹科夫斯基变换w=（z+1/z）将过z=－1的圆的外部变到翼型截面，使得通过机翼的气流模式变得可计算。

当然，这些知识的应用还涉及具体的假设和简化。不仅零粘滞性、不可压缩性和非旋转流体是出于方便而作的假设，而且将流体视同与翼长等长因此实质上的三维问题被完全缩减为二维问题也是非常大胆的简化。很明显，流过机翼流体的实际计算在数学处理上要远为复杂得多。但在实际处理过程中，我们没有理由认为我们可以抛开对像茹科夫斯基变换那样的全纯函数的直接完美的应用。你可以争辩说，在发现复数能够诱人地应用于现实世界里这个显然非常重要的问题方面，的确有着很强的幸运成分。大气无疑是由数目巨大的单个基本颗粒组成的（事实上，每立方厘米大约有1020个），因此气流的宏观描述涉及相当数量上的平均和近似。但这并不是说我们就一定需要空气动力学的数学方程将支配这些单粒子的物理定律的每一个数学公式都包括进来。

在§4.1我曾指出过在“最小尺度”的物理作用上复数实际所扮演的“超凡且又基本的角色”，在支配粒子行为方面（见§21.2）的确存在这样的全纯函数。但对于宏观系统，一般来说这种“复结构”变得完全被埋没了，只有在非常特殊的情况下（像上面所说的气流问题），复数和全纯几何才能表现出其自然的用途。但还有些场合，其中基本的复结构甚至可以在宏观水平上表现出来。这种情形有时我们能在麦克斯韦电磁理论和其他波动现象中看到，在相对论中也存在这种特别令人称奇的事例（见§18.5）。在下一章，我们将看到复数和全纯函数在现象背后表现出的神奇性。