5.2 复对数概念

现在，如图5.1（b）所示的两个复数的乘法的“相似三角形法则”可重新表述为如下事实：两个复数的相乘，相当于它们的幅角相加，模相乘。*〔5.4〕注意，这里就幅角运算规则来说，我们实际上已将乘法转换为加法，其原理是应用了对数运算法则（两数之积的对数等于该两数的对数之和：log ab=log a+log b），这也是计算尺（图5.6）的工作原理，在早年的计算实践中它具有根本的重要性。[2]现在我们都改用电子计算器来做乘法运算了，尽管这比计算尺或对数表快了很多，也要精确得多，但如果我们没能直接体验过对数运算的美和深刻的重要性，我们就会在理解上失去一些非常有价值的东西。我们将看到，对数在复数间的关系上具有基础性地位。在非常明确的意义上，复数的幅角实际上就是一个对数。我们试着来了解这是怎么回事儿。

图5.6 计算尺按对数定标关系来显示数，从而使乘法运算变成为尺上距离的加和运算，其依据的公式为logb（p×q）=logbp+logbq。（图中显示的是乘以2的例子。）

从§4.2的命题可知，取复数根实质上就是个如何理解复对数的问题。我们将发现，复对数与三角学之间存在着值得注意的关系。这些我们在此也一并考虑进来。

先回顾一下通常的对数。对数是“数的自乘”或指数运算的一种逆运算。“自乘”是一种将加法转换成乘法的运算，为什么这么说呢？我们任取一个（非零）数b。于是有公式（将加法转换成乘法）

bm+n=bm×bn，

如果m和n都是正整数，这是很显然的，因为等号两边都表示有m+n个b相乘。我们要做的就是找出一般化的法则，使其不仅适用于m和n不是正整数的情形，而且可用于任意复数。为此，我们需要找出“使b自乘z次”的正确定义，这里z是复数。我们还需要使上述公式，即bw+z=bw×bz，对复指数w和z成立。

实际上，一定意义上说，这个过程见证了§4.1所述的由毕达哥拉斯始，经由欧多克索斯、婆罗摩笈多，直到卡尔达诺和邦贝利（及此后）各个时期数的概念是如何一步步地从正整数发展到复数的历史。起先，人们将“bz”的概念（这里z是正整数）理解为z个b的简单乘积b×b×…×b，特别是b1=b。随后（在婆罗摩笈多的引领下），我们懂得了z可以为0，认识到只需令b0=1就可以保持bw+z=bw×bz成立。再后来又将z扩展到负数，并基于同样的理由认识到，对于z=－1的情形，必须将b－1定义为b的倒数（即1/b），这样b－n（n是自然数）就可理解为b－1的n次幂。这以后，我们再次将z一般化，容许z是一个分数，依然由z=1/n开始，这里n是个正整数。重复应用bw+z=bw×bz我们即可得出结论（bz）n=bzn；由此，令z=1/n，我们即导出b1/n为b的n次根的事实。

我们可以在实数域里这么做，只要数b始终是正的即可。然后，我们可以将b1/n看成是b的唯一的正n次根（这里n是正整数），接着我们对任意有理数z=m/n，将bz定义为b的n次根的m次幂；再（利用取极限过程）将z扩展到实数。但是，如果容许b是负数，那么我们需要在z=1/2处停一下，因为这时需要引入i，由此我们转向了复数。进入复数世界后，让我们喘口气，振作精神，接着走下去。

我们得这样来定义bp：对所有复数p，q和b（b≠0），

bp+q=bp×bq。

由此，我们希望将以b为底的对数（记为“logb”）定义为函数f（z）=bz的逆运算，即

z=logbw，如果w=bz。

然后我们期望

logb（p×q）=logbp+logbq，

因此，这种对数概念确实将乘法转换成了加法。