4-6 在计算“第二胎生女孩的概率”时，使用“期待值”

我们通过计算得到的后验概率为：

（类别p=0.4的后验概率）=0.27

（类别p=0.5的后验概率）=0.33

（类别p=0.6的后验概率）=0.4

以上数值为各个类别的概率，换言之，也就是“概率的概率”。数值分为3部分、内容详细，十分难得。但是，它并不能作为“第二胎生女孩的概率是多少”这个问题的答案。于是，让我们最后再来了解一下该如何回答这个问题吧。

在求“这对夫妇第二胎生女孩的概率”时，需要用到“平均值”这一概念。由于这也是概率方面的平均值，专业上把这个数值称为“期待值”。关于期待值的具体内容将会在第18讲进行详细介绍，在这里暂且用图解的方式，对其含义进行简单说明。

首先，在表示所有可能发生的情况（生了女孩的情况）的长方形中，画出填入了后验概率的图。这个图由3个长方形构成的。左边的长方形：纵向长度为类别p=0.4、横向长度为其后验概率0.27。正中的长方形：纵向长度为类别p=0.5、横向长度为其后验概率0.33。右边的长方形：纵向长度为类别p=0.6、横向长度为其后验概率0.4。因此，各个长方形的面积如下：

左边的长方形→0.4×0.27=0.108

正中的长方形→0.5×0.33=0.165

右边的长方形→0.6×0.4=0.24

对于这3个长方形，需要画出一个使横向长度之和与面积之和一致的长方形，即虚线长方形。这个长方形，横边的长度刚好等于1。其理由是，由于3个长方形的横边长度为各类别的后验概率，根据标准化条件进行相加，其结果为1。因此，虚线长方形的纵向边长的长度，与3个长方形的面积之和完全一致。这是“把类别平均化的数值”，即为“类别的期待值”（图表4-8）

图表4-8 计算类别的平均值

具体的计算过程如下所示：

（P的期待值）=0.4×0.27+0.5×0.33+0.6×0.4

=0.108+0.165+0.24

=0.513

因此，若把这对夫妇的类别（生女孩的概率）进行平均化，则得到结果0.513。这也能够成为解释“这对夫妇第二胎生女孩的概率”的理由。在第19讲中，会针对“满足类别0≤p≤1中所有p的设定”的例子进行说明。

练习题

本文将所有的先验概率都设定为均等数值，但这似乎不太妥当。比起其他可能性，p=0.5的可能性显然更大。因此，我们在此改变一下先前的设定，将先验概率分为以下三类：

类别p=0.4的概率→0.2

类别p=0.5的概率→0.6

类别p=0.6的概率→0.2

在此条件下，求以下过程中的后验概率。

各个类别的先验概率分别为，

（a）=（　）、（b）=（　）、（c）=（　）

添加信息后的条件概率分别为，

（d）=0.4，（e）=（　）

（f）=0.5，（g）=（　）

（h）=0.6，（i）=（　）

种互不相同的情况的下，生女孩的概率分别为，

（j）=（　）×（　）=（　）

（k）=（　）×（　）=（　）

（l）=（　）×（　）=（　）

如果将“生女孩”的三种情况下的概率进行标准化处理，那么

专栏 column 贝叶斯是何许人也？

发现贝叶斯逆概率的人，名为托马斯·贝叶斯，英国人，生于1702年，卒于1761年。贝叶斯曾在苏格兰的爱丁堡大学学习神学和数学。后来，他继承父业，成为一名牧师。

贝叶斯一边从事牧师的工作，一边研究数学。这并不奇怪。因为在当时，侍奉神职的人们当中，有不少人都在研究数学。

贝叶斯一生中仅写过一篇数学论文，题为《关于概率思考中某一问题的解法的考察》的。贝叶斯逆概率的起点就在这篇论文当中。但贝叶斯本人似乎并不是很重视这一发现，他长期将其搁置一旁，因而我们也无法清楚地知道这篇论文的执笔年份。据推测，应该是在18世纪40年代末的1748年或1749年。

将贝叶斯的发现公之于众的，是他的朋友——同为牧师的理查德·普莱斯。普莱斯受贝叶斯的亲戚所托，调查贝叶斯遗留下来的文献，并发现了前述的那篇论文。普莱斯在整理思路后，于1764年在皇家学会的《哲学纪要》上发表了这篇论文。贝叶斯逆概率自此公之于世。

然而，几乎没有人关注普莱斯的报告内容。后来，由于法国的天才数学家拉普拉斯的研究，才使得情况有所好转。拉普拉斯原本已经在天文学、物理学、数学方面取得了大量优秀成绩。在了解到贝叶斯的研究之前，他就已经写过一篇关于贝叶斯逆概率构想的较为浅显的文章。之后，他听闻普莱斯的研究，并意识到它可能会促使自己的初期研究进一步完善。1781年左右，拉普拉斯一气呵成，将贝叶斯逆概率改编为现今公式的形式。因此也可以说，贝叶斯逆概率的发现也有拉普拉斯的功劳。