第5章 数学成就

【分数的运用】

我国是世界上最早运用分数的国家，在《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年。

在《九章算术》中，讲到了约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，它是世界上最早的系统叙述分数的著作。

【小数】

汉朝人刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。

到1300年前后，元代刘瑾所著《律吕成书》中，已将106368.6312写成把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台文直到l585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进。

【勾股定理】

勾股定理，即直角三角形中夹直角两边的平方和，等于直角的对边的平方。这是几何学中最重要的一条定理，用途很广。

我国古代称直角边为“勾”与“股”，斜边为“弦”或“径”，因而将这条定理称为“勾股定理”。这条定理是谁首次在理论上阐明的呢？

据《九章算术》记载，勾股定理是由距今3000多年前周朝的商高发现的。据说周公听说商高精通数学，就问商高：古时候伏羲观测天制历法，而天无台阶可攀，也难用尺寸度量，请问数从何而来？商高回答说是通过测量计算而得出的。而测量工具“矩”是将一条木头按三、四、五比例分为三段做成的直角三角形，“折矩以为勾，广三，股修四，径隅五”，“故禹之所以治天下者，此数之所生也”。周公又“请问用矩之道”，商高详细讲解了各种用矩测量的方法。最后周公叹服地说：“善哉。”

由于这个典故，在我国，勾股定理又称“商高定理”。

【圆周率】

圆周率是指圆的周长和同一圆的直径的比率。它的应用范围很广，现在很多涉及圆的问题，都需要用圆周率来推算。

我国古代的劳动人民在很早以前就已经在生产实践中应用圆周率了。最早求得的圆周率值是“3”，这当然是很不精确的。随着时代的发展，科学越来越进步，西汉末年时，刘歆又得出3.147的圆周率值；东汉张衡算出3.1622的圆周率值，但这些仍然不够精确。

三国末年时，数学家刘徽创造了用割圆术求圆周率的方法，求得3.141024的圆周率值。这是我国古代关于圆周率研究中的一个光辉成就。

后来，南北朝时期南朝杰出的数学家祖冲之（423—500年），求出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，还保留了两个用分数表示圆周率的数据，其中较精确的称密率为355/113，还有约率为2/7。这与现代求得的圆周率的真值很相近，是当时最精确的圆周率。

祖冲之算出来的结果有7位小数，科学家们推测，他在运算过程中，至少保留了12位小数。12位小数的乘方，尤其是开方，运算起来极为麻烦。没有技巧和毅力，是无法完成这上万次繁难复杂的运算的。在欧洲，到1573年，德国的奥托才求得了这数值的近似值，比祖冲之晚1000年。

【十进制】

十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。《卜辞》中记载说，商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字，但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中甚至还有奇数、偶数和倍数的概念。

在春秋战国时代，我国古代人就已经能熟练地运用十进位制记数法，它和现代通用的十进位笔算记数法基本一样。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国古代记数法予以很高的评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

【九九表】

现在学生学的九九乘法表，是从一一得一开始，到九九八十一止。而古代是倒过来的，从九九八十一开始，到二二得四止，因此称为“九九表”。

我国使用九九表的历史较早，在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中，就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在春秋战国时期，“九九表”就已经开始流行了。

【数学文献】

我国最早的数学文献见于战国时尸佼著的《尸子》。在《尸子》中，有这样的记载：“古者，任为规、矩、准、绳，使下仿焉。”由此可见，我国早在2500多年前，就已有“圆、方、平、直”等形的概念。

【《九章算术》】

《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书成书于东汉初年（公元1世纪），是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。

《九章算术》问世以后，受到很多数学家的推崇，唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，是世界上最早的印刷本数学书。

《九章算术》的数学成就主要体现在以下方面：首次提出了分数的概念；提出了整套的比例理论；介绍了开平方、开立方的方法；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；引进和使用了负数；提出了勾股数问题的通解公式；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式等。

【《畴人传》】

“畴人”是中国古代对具有数学、天文、历法等方面专业知识学者的称呼。《畴人传》是我国第一部天文、历算学家的传记，是清嘉庆年间著名学者，当时天文、数学领域的一流学者编定而成的。

《畴人传》收有自上古至清乾隆末年的天文、历法、算学家300多人，叙述他们的事业和贡献。内容涉及历代天文历法推算资制学说、仪器制度、算学等许多方面；星占之学则未予采收。所叙事迹、著作，均摘编自有关典籍的原文。除人物姓名、籍贯、生卒年月、曾任主要官职外，其他政治与文化成就都略而不载。有些传后附有编者的评论。历代天文、历法、算学家及其贡献传入中国的外国数学家均被收入，是为研究中国天算的重要资料。

【开方术】

开方术是古代重要数学方法及重要研究课题之一。古代不仅将求二项方程的正根的方法称为开方术，而且凡是求任意方程的正根的方法都称为开方术。不过开平方常称为开方，开四次方称为开三乘方，开五次方称为开四乘方，依次类推。

《九章算术》中保存有完整的开平方、开立方术，在世界上首次提出完整的多位数开方法。13世纪中叶，秦九韶提出正负开方术，把求高次方程正根的方法发展到十分完备的境地。这些成就都超前其他民族几百年。明代的时候数学落后，增乘开方法失传。清中叶传统数学复兴，汪莱、李锐讨论根的个数与系数的关系，并提出方程可以有重根、有负根，可惜这些成就的取得都在西方同类成就之后了。

【天元术】

是中国古代宋、金、元数学家创造的一种重要算学方法，相当于今天的设未知数求解高次方程的方法。“天元”二字最早见于秦九韶的“大衍求一术”，意思是问题中的未知数符号X。

天元术出现以前，我国古代解高次方程时，把各项系数排成等式，由于没有未知数，常常搞错项的次数。随着开方术的日臻完善，如何列出方程，日益成为困扰人们的问题。经过刘徽、王孝通等许多代人的努力，终于发明了天元术。

最初的天元术比较麻烦，每一项都要写字。一般常数项用“人”字表示，一次以上各项系数旁边分别记“天”、“上”等字，“仙”字表示9次项。常数项以下各负次幂分别记“地”、“下”等字。12世纪末，彭泽把这种次序变为“立天元在下”，即把高次项系数放下面。13世纪，元代数学家李冶著成《测圆海镜》和《益古演段》两书，这也成为世界数学史上有关天元术研究最早、最完整而详细的著作。在书中，他把记多项式的文字省略为一个字，在一次项旁边记个“元”字，或在常数项旁边记个“太”字，使天元术成为简捷而固定的运算形式，在世界数学史上占有重要地位。欧洲直到16世纪下半叶才由韦达引入了半符号代数，这比我国的天元术至少晚了300年。

【刘徽原理】

在《九章算术·阳马术》注中，刘徽在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题，这就是“割圆术”。

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判地总结数学史上各种旧的计算方法基础上，经过深思熟虑创造出来的一种崭新的方法。利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正九十六边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。

割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年，德国数学家柯伦用此方法将圆周率计算到小数点后35位。1630年，格林贝尔格利用改进的方法将圆周率计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后，逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直沿用。

【贾宪三角】

是“开方做法本源图”的今称，这幅图现见于杨辉的书中。但杨辉在引用这幅图后特意说明：“释锁算书，贾宪用此术。”过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。

用现代的数学术语来说，这幅“开方做法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表，为中国北宋数学家贾宪所首创。这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”，但这已晚于贾宪六百多年。

元初朱世杰把贾宪三角由七层推广到九层（八次幂），为高阶等差级数求和问题和高次招差法的发展提供了有力的计算工具，贾宪三角对宋元数学的发展具有重要的推动作用。